Uma pesquisa eleitoral realizada com 210 eleitores escolhidos ao acaso entre os votantes de uma cidade, indicou que 52,5% deles eram a favor do candidato José. Qual o limite de confiança de: (b) 99% para a proporção de todos os eleitores da cidade favoráveis a José?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma pesquisa com 210 eleitores mostrou que 52,5% são a favor do candidato José. A questão pede para calcular o limite de confiança de 99% para a proporção total de eleitores que apoiam o José. Ou seja, queremos saber, com 99% de certeza, qual é a faixa em que está a verdadeira proporção de apoio ao José na cidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma proporção amostral. A proporção observada na amostra é p = 0,525. Queremos estimar essa proporção para toda a população de eleitores, com um certo nível de confiança.

Passo 3

Para calcular o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
p pm Z times raizp(1 - p)n
Aqui, p é a proporção amostral, Z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado, e n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Nosso nível de confiança é de 99%, então precisamos encontrar o valor de Z correspondente. Olhando na tabela da distribuição normal, o valor de Z para 99% de confiança é aproximadamente 2,576.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
0,525 pm 2,576 times raiz0,525 times (1 - 0,525)210

Passo 6

Calculando a parte dentro da raiz:
0,525 times (1 - 0,525) = 0,525 times 0,475 = 0,249375
0,249375210 approx 0,001188
Então, a raiz quadrada disso é:
raiz0,001188 approx 0,03448

Passo 7

Multiplicando pelo valor de Z:
2,576 times 0,03448 approx 0,08853

Passo 8

Agora, aplicamos isso à proporção amostral:
0,525 - 0,08853 approx 0,4365
0,525 + 0,08853 approx 0,6135

Resposta

Portanto, com 99% de confiança, a proporção de todos os eleitores da cidade que são favoráveis a José está entre aproximadamente 43,65% e 61,35%.

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