Considere a matriz quadrada Ax=[cccx-1 & 0 & -1 0 & x-1 & -1 -1 & -1 & x-2].
(b) Mostre que a matriz Ax, para x=-1, é inversível e encontre sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada que depende de um valor . A tarefa é mostrar que, quando , essa matriz é inversível (ou seja, tem uma inversa), e então encontrar essa inversa. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir A-1 = -1 - 1 & 0 & -1 0 & -1 - 1 & -1 -1 & -1 & -1 - 2 = -2 & 0 & -1 0 & -2 & -1 -1 & -1 & -3 na matriz para encontrar :

Passo 3

Agora, precisamos verificar se é inversível. Uma matriz é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 4

Vamos calcular o determinante de uma matriz det(A-1) = a(ei − fh) - b(di − fg) + c(dh − eg) usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
A-1 = a & b & c d & e & f g & h & i = -2 & 0 & -1 0 & -2 & -1 -1 & -1 & -3
Para a nossa matriz:
det(A-1) = (-2)((-2)(-3) - (-1)(-1)) - 0(0 cdot (-3) - (-1)(-1)) + (-1)(0 cdot (-1) - (-2)(-1))
Substituindo na fórmula:
(-2)((6) - (1)) = (-2)(5) = -10
Calculando cada parte:
0 cdot () = 0
(-1)(0 - 2) = (-1)(-2) = 2
det(A-1) = -10 + 0 + 2 = -8
Somando tudo:
Como o determinante é (diferente de zero), a matriz é inversível.

Passo 5

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é inversível, vamos encontrar sua inversa. A fórmula para a inversa de uma matriz Cof(A-1) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33 é:
C11 = det-2 & -1 -1 & -3 = (-2)(-3) - (-1)(-1) = 6 - 1 = 5
Onde C12 = -det0 & -1 -1 & -3 = -[(0)(-3) - (-1)(-1)] = -[0 - 1] = 1 é a adjugada de C13 = det0 & -2 -1 & -1 = (0)(-1) - (-2)(-1) = 0 - 2 = -2 , que é a transposta da matriz de cofatores.
Primeiro, vamos encontrar a matriz de cofatores de C21 = -det0 & -1 -1 & -3 = -[(0)(-3) - (-1)(-1)] = -[0 - 1] = 1 :
C22 = det-2 & -1 -1 & -3 = (-2)(-3) - (-1)(-1) = 6 - 1 = 5
Calculando cada cofator:
C23 = -det-2 & 0 -1 & -1 = -[(-2)(-1) - (0)(-1)] = -[2 - 0] = -2
C31 = det0 & -1 -2 & -1 = (0)(-1) - (-1)(-2) = 0 - 2 = -2
C32 = -det-2 & -1 0 & -1 = -[(-2)(-1) - (-1)(0)] = -[2 - 0] = -2
C33 = det-2 & 0 0 & -2 = (-2)(-2) - (0)(0) = 4 - 0 = 4
Cof(A-1) = 5 & 1 & -2 1 & 5 & -2 -2 & -2 & 4
adj(A-1) = 5 & 1 & -2 1 & 5 & -2 -2 & -2 & 4 ^T = 5 & 1 & -2 1 & 5 & -2 -2 & -2 & 4
A-1^-1 = 1-8 cdot 5 & 1 & -2 1 & 5 & -2 -2 & -2 & 4 = -58 & -18 & 14 -18 & -58 & 14 14 & 14 & -12
Então, a matriz de cofatores é:
Agora, encontramos a adjugada que é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, aplicando a fórmula da inversa:

Resposta

A matriz A-1^-1 = -dfrac58 & -dfrac18 & dfrac14 -dfrac18 & -dfrac58 & dfrac14 dfrac14 & dfrac14 & -dfrac12 com é inversível, e sua inversa é:

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