Considere a matriz quadrada .
(b) Mostre que a matriz Ax, para x=-1, é inversível e encontre sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz quadrada que depende de um valor . A tarefa é mostrar que, quando , essa matriz é inversível (ou seja, tem uma inversa), e então encontrar essa inversa. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.
Agora, precisamos verificar se é inversível. Uma matriz é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .
Passo 4
Vamos calcular o determinante de uma matriz det(A-1) = a(ei − fh) - b(di − fg) + c(dh − eg) usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
A-1 = a & b & c d & e & f g & h & i = -2 & 0 & -1 0 & -2 & -1 -1 & -1 & -3
Como o determinante é (diferente de zero), a matriz é inversível.
Passo 5
Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é inversível, vamos encontrar sua inversa. A fórmula para a inversa de uma matriz Cof(A-1) = C11 & C12 & C13 C21 & C22 & C23 C31 & C32 & C33 é: