Para detectar a presença do vírus Z no organismo é efetuado o teste X. Sabe-se que o vírus Z está presente em 0,1 % da população, enquanto o teste X acusa em 98 % dos casos de pessoas com o vírus e em 4 % dos casos em pessoas sadias. Pede-se: Qual é a probabilidade de uma pessoa com resultado positivo tenha de fato o vírus Z?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um teste para detectar o vírus Z no organismo, chamado teste X. Sabemos que:
  • A prevalência do vírus Z na população é de 0,1%.
  • O teste X identifica corretamente 98% das pessoas que têm o vírus (sensibilidade).
  • O teste X dá resultado positivo em 4% das pessoas que não têm o vírus (taxa de falso positivo).
Queremos descobrir: Qual é a probabilidade de uma pessoa que teve o resultado positivo realmente ter o vírus Z?
Para resolver isso, vamos usar a Regra de Bayes, que nos ajuda a atualizar as probabilidades com base em novas informações.

Passo 2

Vamos definir os eventos:
  • Z: a pessoa tem o vírus.
  • ¬Z: a pessoa não tem o vírus.
  • X: o teste dá positivo.
Sabemos que:
  • P(Z) = 0,001 (0,1%)
  • P(¬Z) = 1 - P(Z) = 0,999 (99,9%)
  • P(X|Z) = 0,98 (98% de sensibilidade)
  • P(X|¬Z) = 0,04 (4% de falso positivo)

Passo 3

Queremos encontrar P(Z|X), ou seja, a probabilidade de ter o vírus sabendo que o teste deu positivo.
A Regra de Bayes nos diz que:
P(Z|X) = P(X|Z) cdot P(Z)P(X)
Onde P(X) é a probabilidade total de sair positivo, que pode ser calculada como:
P(X) = P(X|Z) cdot P(Z) + P(X|¬Z) cdot P(¬Z)

Passo 4

Vamos calcular P(X) primeiro:
P(X) = (0,98 times 0,001) + (0,04 times 0,999) = 0,00098 + 0,03996 = 0,04094

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de Bayes:
P(Z|X) = 0,98 times 0,0010,04094 = 0,000980,04094 approx 0,0239

Resposta

A probabilidade de uma pessoa com resultado positivo realmente ter o vírus Z é de aproximadamente 2,4%.

Exercícios relacionados