Uma empresa possui em estoque 1000 lâmpadas das quais
, em média, estão fundidas. A fim de atender a uma encomenda de um cliente, a empresa preparou um lote de 100 lâmpadas. Calcule a probabilidade de nesse lote irem 5 lâmpadas fundidas (note que se trata de uma extração sem reposição).
Passo 1
Então, a gente tem um problema de probabilidade aqui. A empresa tem 1000 lâmpadas no estoque, das quais 5% estão fundidas, ou seja, 50 lâmpadas defeituosas. Eles vão escolher um lote de 100 lâmpadas para um cliente e queremos saber qual a chance de exatamente 5 dessas 100 serem fundidas. Vamos usar a teoria de probabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma extração sem reposição, ou seja, uma vez que uma lâmpada é escolhida, ela não volta para o estoque. Isso afeta as probabilidades porque a chance de escolher uma lâmpada fundida muda conforme vamos selecionando as lâmpadas.
Passo 3
Nesse tipo de problema, usamos a distribuição hipergeométrica. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos (no nosso caso, lâmpadas fundidas) em uma amostra, sem reposição, de uma população finita.
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
Onde:
-
é o tamanho total da população (1000 lâmpadas). -
é o número total de sucessos na população (50 lâmpadas fundidas). -
é o tamanho da amostra (100 lâmpadas escolhidas). -
é o número de sucessos na amostra que queremos encontrar (5 lâmpadas fundidas).
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos calcular cada uma dessas combinações:
-
é a combinação de 50 lâmpadas fundidas escolhendo 5. -
é a combinação de 950 lâmpadas boas escolhendo 95. -
é a combinação total de 1000 lâmpadas escolhendo 100.
Passo 5
Após calcular as combinações, substituímos de volta na fórmula para obter a probabilidade:
Resposta
A probabilidade de, no lote de 100 lâmpadas, exatamente 5 serem fundidas é aproximadamente 30,9%.