Uma empresa possui em estoque 1000 lâmpadas das quais 5 %, em média, estão fundidas. A fim de atender a uma encomenda de um cliente, a empresa preparou um lote de 100 lâmpadas. Calcule a probabilidade de nesse lote irem 5 lâmpadas fundidas (note que se trata de uma extração sem reposição).

Passo 1

Então, a gente tem um problema de probabilidade aqui. A empresa tem 1000 lâmpadas no estoque, das quais 5% estão fundidas, ou seja, 50 lâmpadas defeituosas. Eles vão escolher um lote de 100 lâmpadas para um cliente e queremos saber qual a chance de exatamente 5 dessas 100 serem fundidas. Vamos usar a teoria de probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma extração sem reposição, ou seja, uma vez que uma lâmpada é escolhida, ela não volta para o estoque. Isso afeta as probabilidades porque a chance de escolher uma lâmpada fundida muda conforme vamos selecionando as lâmpadas.

Passo 3

Nesse tipo de problema, usamos a distribuição hipergeométrica. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos (no nosso caso, lâmpadas fundidas) em uma amostra, sem reposição, de uma população finita.
A fórmula da distribuição hipergeométrica é:
P(X = k) = dbinomKk times dbinomN - Kn - kdbinomNn
Onde:
  • é o tamanho total da população (1000 lâmpadas).
  • é o número total de sucessos na população (50 lâmpadas fundidas).
  • é o tamanho da amostra (100 lâmpadas escolhidas).
  • é o número de sucessos na amostra que queremos encontrar (5 lâmpadas fundidas).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(X = 5) = dbinom505 times dbinom95095dbinom1000100
Agora, precisamos calcular cada uma dessas combinações:
  • é a combinação de 50 lâmpadas fundidas escolhendo 5.
  • é a combinação de 950 lâmpadas boas escolhendo 95.
  • é a combinação total de 1000 lâmpadas escolhendo 100.

Passo 5

Após calcular as combinações, substituímos de volta na fórmula para obter a probabilidade:
P(X = 5) approx 2.118.760 times 2.533.384.246.51.731.030.408.7 approx 0,309

Resposta

A probabilidade de, no lote de 100 lâmpadas, exatamente 5 serem fundidas é aproximadamente 30,9%.

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