O verdadeiro peso de sacos de quilo de arroz é aleatório e apresenta uma densidade de probabilidade uniformemente distribuída entre 0,8 e
. a) Indique a função de densidade de probabilidade em questão. b) Qual a probabilidade de um saco de arroz pesar menos de um quilo? c) Qual o peso médio dos referidos sacos?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos sacos de arroz cujo peso real varia de forma aleatória e segue uma distribuição de probabilidade uniforme entre 0,8 kg e 1,05 kg. Isso significa que todos os pesos dentro desse intervalo são igualmente prováveis. Vamos resolver as partes a, b e c usando esse entendimento.
Passo 2
Parte a): Precisamos indicar a função de densidade de probabilidade (f.d.p.) para essa distribuição uniforme.
Em uma distribuição uniforme contínua, a f.d.p. é constante no intervalo
e zero fora dele. A fórmula para a f.d.p. é:
Aqui,
kg e
kg. Substituindo esses valores:
Então, a função de densidade de probabilidade é
para
.
Passo 3
Parte b): Queremos encontrar a probabilidade de um saco de arroz pesar menos de 1 kg, ou seja,
.
Na distribuição uniforme, a probabilidade de
estar entre
e
é dada por:
Aqui, queremos
, que é igual a
. Aplicando a fórmula:
Então, a probabilidade de um saco de arroz pesar menos de 1 kg é 0,8, ou 80%.
Passo 4
Parte c): Precisamos encontrar o peso médio dos sacos, ou seja, a esperança matemática
dessa distribuição.
Para uma distribuição uniforme contínua, a média é dada por:
Substituindo os valores:
Portanto, o peso médio dos sacos é 0,925 kg.
Resposta
a) A função de densidade de probabilidade é
para
.
b) A probabilidade de um saco de arroz pesar menos de um quilo é 80%.
c) O peso médio dos sacos é 0,925 kg.