Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. com f.d.p.
Escolhida uma pessoa ao acaso,qual a probabilidade de sua renda ser superior a 3.000,00 ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de renda em uma localidade específica, onde a renda das pessoas é representada por uma variável aleatória contínua $ X $, com uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ definida por partes. A pergunta é: qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ter uma renda superior a R$3.000,00 (ou seja, $ X > 3 $)?
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que a função densidade de probabilidade $ f(x) $ descreve a probabilidade relativa de a variável aleatória $ X $ assumir um valor específico. Para encontrar a probabilidade de $ X $ estar em um determinado intervalo, a gente integra a função $ f(x) $ sobre esse intervalo.
Passo 3
Queremos calcular $ P(X > 3) $. Isso significa que precisamos integrar a função densidade $ f(x) $ de $ x = 3 $ até o limite superior da distribuição, que é $ x = 6 $. Então, nossa integral vai de 3 a 6.
Passo 4
Vamos identificar a expressão de $ f(x) $ no intervalo de 2 a 6, já que 3 está dentro desse intervalo. A função $ f(x) $ para $ 2 \leq x \leq 6 $ é:
f(x)
Agora, calculamos a integral dessa função de 3 a 6:
f(x)
Vamos integrar termo a termo:
2 <= x <= 6
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 3 a 6: