Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. X com f.d.p.
f(x)=cc 0, & x<0 110 x+110, & 0 <= x<2 -340 x+920, & 2 <= x <= 6 0, & x>6
Escolhida uma pessoa ao acaso,qual a probabilidade de sua renda ser superior a 3.000,00 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de renda em uma localidade específica, onde a renda das pessoas é representada por uma variável aleatória contínua $ X $, com uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ definida por partes. A pergunta é: qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ter uma renda superior a R$3.000,00 (ou seja, $ X > 3 $)?

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que a função densidade de probabilidade $ f(x) $ descreve a probabilidade relativa de a variável aleatória $ X $ assumir um valor específico. Para encontrar a probabilidade de $ X $ estar em um determinado intervalo, a gente integra a função $ f(x) $ sobre esse intervalo.

Passo 3

Queremos calcular $ P(X > 3) $. Isso significa que precisamos integrar a função densidade $ f(x) $ de $ x = 3 $ até o limite superior da distribuição, que é $ x = 6 $. Então, nossa integral vai de 3 a 6.

Passo 4

Vamos identificar a expressão de $ f(x) $ no intervalo de 2 a 6, já que 3 está dentro desse intervalo. A função $ f(x) $ para $ 2 \leq x \leq 6 $ é:
f(x)
Agora, calculamos a integral dessa função de 3 a 6:
f(x)
Vamos integrar termo a termo:
2 <= x <= 6
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 3 a 6:
f(x) = -340x + 920

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Para $ x = 6 $:
x = 6
Para $ x = 3 $:
-380(6)^2 + 920(6) = -380 times 36 + 920 times 6 = -10880 + 5420 = -1,35 + 2,7 = 1,35
Agora, subtraímos os dois resultados:
x = 3

Resposta

A probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ter uma renda superior a R$3.000,00 é de 33,75%.

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