X é uma variável aleatória, com f.g.m MX(t) e a, b são constantes positivas.
Mostre que E(a X)=a E(X)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para mostrar que $ E(a X) = a E(X) $, onde $ X $ é uma variável aleatória e $ a $ é uma constante positiva. Esse assunto faz parte de Probabilidades e Estatística, mais especificamente sobre o valor esperado (ou esperança matemática) de uma variável aleatória. Para resolver isso, vamos usar a propriedade da linearidade da esperança matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado $ E(X) $. Ele é basicamente a média ponderada de todos os possíveis valores que $ X $ pode assumir, cada um multiplicado pela sua probabilidade.

Passo 3

Quando a gente multiplica a variável aleatória $ X $ por uma constante $ a $, estamos basicamente escalando todos os valores que $ X $ pode assumir por $ a $. Então, $ aX $ é uma nova variável aleatória onde cada valor de $ X $ foi multiplicado por $ a $.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor esperado de $ aX $. Pela definição, temos:
aX
Onde $ P(X = x) $ é a probabilidade de $ X $ assumir o valor $ x $.

Passo 5

Aí vem a parte legal: podemos tirar o $ a $ de fora da soma porque é uma constante. Então fica:
a
E olha só, isso é exatamente $ a E(X) $.

Resposta

E(a X) = a E(X)

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