Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. com f.d.p.
Calcule a Variância de X.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a Variância de uma variável aleatória $ X $ que representa a distribuição de renda em uma localidade específica. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de $ X $ está dividida em partes para diferentes intervalos de renda. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a média $ E[X] $ e o valor $ E[X^2] $, pois a variância é dada por $ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a Média $ E[X] $. A média de uma variável contínua é dada pela integral de $ x $ vezes a função densidade de probabilidade $ f(x) $ sobre todo o intervalo possível de $ x $. Ou seja:
E[X]
Como a função $ f(x) $ é zero fora dos intervalos [0,2) e [2,6], podemos limitar nossa integração a esses intervalos.
Passo 3
Vamos dividir a integral em duas partes, de acordo com os intervalos onde $ f(x) $ é diferente de zero:
f(x)
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira Integral (0 a 2):
E[X] = integral0^2 x ( 110x + 110 ) dx + integral2^6 x ( -340x + 920 ) dx