Numa determinada localidade, a distribuição de renda (em milhares de reais) é uma v.a. X com f.d.p.
f(x)=cc 0, & x<0 110 x+110, & 0 <= x<2 -340 x+920, & 2 <= x <= 6 0, & x>6
Calcule a Variância de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular a Variância de uma variável aleatória $ X $ que representa a distribuição de renda em uma localidade específica. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de $ X $ está dividida em partes para diferentes intervalos de renda. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a média $ E[X] $ e o valor $ E[X^2] $, pois a variância é dada por $ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Média $ E[X] $. A média de uma variável contínua é dada pela integral de $ x $ vezes a função densidade de probabilidade $ f(x) $ sobre todo o intervalo possível de $ x $. Ou seja:
E[X]
Como a função $ f(x) $ é zero fora dos intervalos [0,2) e [2,6], podemos limitar nossa integração a esses intervalos.

Passo 3

Vamos dividir a integral em duas partes, de acordo com os intervalos onde $ f(x) $ é diferente de zero:
f(x)
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira Integral (0 a 2):
E[X] = integral0^2 x ( 110x + 110 ) dx + integral2^6 x ( -340x + 920 ) dx
Integrando termo a termo:
integral0^2 x ( 110x + 110 ) dx = integral0^2 ( 110x^2 + 110x ) dx
Calculando em $ x = 2 $:
= 110 cdot x^33 + 110 cdot x^22 |0^2 = 130x^3 + 120x^2 |0^2
Segunda Integral (2 a 6):
x = 2
Integrando termo a termo:
= 130(8) + 120(4) = 830 + 420 = 415 + 15 = 415 + 315 = 715
Calculando em $ x = 6 $:
integral2^6 x ( -340x + 920 ) dx = integral2^6 ( -340x^2 + 920x ) dx
Calculando em $ x = 2 $:
= -340 cdot x^33 + 920 cdot x^22 |2^6 = -140x^3 + 940x^2 |2^6
Subtraindo:
x = 6
Somando as duas integrais:
= -140(216) + 940(36) = -21640 + 32440 = 10840 = 2710

Passo 4

Agora, vamos calcular $ E[X^2] $. A fórmula é semelhante à da média, mas agora multiplicamos $ x^2 $ pela função densidade:
E[X^2]
Novamente, limitamos a integração aos intervalos onde $ f(x) $ é diferente de zero:
x^2
Resolvendo cada integral separadamente.
Primeira Integral (0 a 2):
E[X^2] = integral-infty^infty x^2 cdot f(x) , dx
Integrando termo a termo:
f(x)
Calculando em $ x = 2 $:
E[X^2] = integral0^2 x^2 ( 110x + 110 ) dx + integral2^6 x^2 ( -340x + 920 ) dx
Segunda Integral (2 a 6):
integral0^2 x^2 ( 110x + 110 ) dx = integral0^2 ( 110x^3 + 110x^2 ) dx
Integrando termo a termo:
= 110 cdot x^44 + 110 cdot x^33 |0^2 = 140x^4 + 130x^3 |0^2
Calculando em $ x = 6 $:
x = 2
Calculando em $ x = 2 $:
= 140(16) + 130(8) = 1640 + 830 = 25 + 415 = 615 + 415 = 1015 = 23
Subtraindo:
integral2^6 x^2 ( -340x + 920 ) dx = integral2^6 ( -340x^3 + 920x^2 ) dx
Somando as duas integrais:
= -340 cdot x^44 + 920 cdot x^33 |2^6 = -3160x^4 + 320x^3 |2^6

Resposta

A Variância de $ X $ é aproximadamente $ 7{,}867 $ (em milhares de reais).

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