Em determinada população, o peso dos homens adultos é distribuído normalmente com um desvio padrão de 16 kg . Uma amostra aleatória simples de 36 homens adultos é sorteada desta população, obtendo-se um peso médio de 78,2 kg e desvio padrão de 15 kg . Construa um intervalo de confiança de nível de confiança 0,95 para o peso médio de todos os homens adultos dessa população.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente quer construir um intervalo de confiança de 95% para o peso médio de todos os homens adultos dessa população. Isso cai dentro da estatística, mais especificamente no ramo dos intervalos de confiança. Pra resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula do intervalo de confiança para a média, que envolve o desvio padrão da população, o tamanho da amostra e o valor crítico da distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio padrão da população. A fórmula é:
barx pm Zalpha/2 ( sigmaraizn )
Aqui,
  • barx é a média amostral,
  • Zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado,
  • sigma é o desvio padrão da população,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Sendo assim, vamos identificar os valores que a gente tem:
  • A média amostral ( barx) é 78,2 kg.
  • O desvio padrão da população ( sigma) é 16 kg.
  • O tamanho da amostra ( n) é 36.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico Zalpha/2 para um nível de confiança de 95%. Esse valor corresponde a uma probabilidade de 0,025 em cada cauda da distribuição normal (já que 95% está no meio). Usando uma tabela de valores da distribuição normal ou uma calculadora, encontramos que Z0,025 approx 1,96.

Passo 5

Com todos os valores em mãos, vamos substituir na fórmula:
78,2 pm 1,96 ( 16raiz36 )
Primeiro, vamos calcular o erro padrão ( sigmaraizn):
16raiz36 = 166 approx 2,6667

Passo 6

Agora, multiplicamos o valor crítico pelo erro padrão:
1,96 times 2,6667 approx 5,2267

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média amostral:
78,2 - 5,2267 approx 72,9733 78,2 + 5,2267 approx 83,4267

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o peso médio de todos os homens adultos dessa população é aproximadamente entre 72,97 kg e 83,43 kg.

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