Uma fábrica que produz papel quer estimar o tempo médio requerido para uma nova máquina produzir uma resma de papel. Sabe-se que para uma amostra de 20 resmas produzidas por essa máquina obteve-se média de 1,5 minutos e desvio padrão 0,30 minutos. Assumindo que o tempo gasto para produzir uma resma de papel siga aproximadamente o modelo Normal, construa um intervalo de confiança a para o tempo médio de produção de uma resma de papel.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma fábrica de papel que quer saber quanto tempo, em média, uma nova máquina leva para produzir uma resma de papel. Para isso, eles fizeram uma amostra de 20 resmas e descobriram que o tempo médio foi de 1,5 minutos, com um desvio padrão de 0,30 minutos. Nosso objetivo aqui é construir um intervalo de confiança de 95% para estimar esse tempo médio de produção.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa dentro da qual acreditamos que o verdadeiro valor da média está, com um certo nível de confiança (neste caso, 95%). Para calcular esse intervalo, usamos a média da amostra, o desvio padrão e o tamanho da amostra.

Passo 3

Como temos uma amostra pequena (n = 20) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar a distribuição t de Student. Essa distribuição é apropriada para amostras menores e nos ajuda a determinar o fator que usaremos para calcular nosso intervalo de confiança.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão nos mostra quanto a média da amostra pode variar em relação à média verdadeira da população. A fórmula é:
ã
Onde:
  • minutos (desvio padrão da amostra)
  • (tamanho da amostra)
Calculando:
ã

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico t correspondente a um intervalo de confiança de 95% e 19 graus de liberdade (df = n - 1 = 20 - 1 = 19). Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico t é aproximadamente 2,093.

Passo 6

Com o valor crítico t e o erro padrão, podemos calcular a margem de erro:
ã

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
ç
Isso nos dá:

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de produção de uma resma de papel é aproximadamente entre 1,36 minutos e 1,64 minutos.

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