Em uma pesquisa mercadológica, deseja-se estimar, dentre os consumidores em potencial de uma certa cidade, a proporção de consumidores que passariam a usar certo produto após experimentá-lo pela primeira vez. Para atingir este objetivo, selecionou-se uma amostra aleatória de 200 consumidores potenciais, fornecendolhes amostras grátis do produto. Depois de uma mês, voltou-se a contatar os consumidores da amostra, oferecendo-lhes o produto por um certo preço. Trinta por cento da amostra decidiu adquirir o produto. Construa uma estimativa intervalar para com nível de confiança de .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma pesquisa de mercado onde queremos estimar a proporção de consumidores que usariam um certo produto após experimentá-lo pela primeira vez. Selecionamos uma amostra aleatória de 200 consumidores, distribuímos amostras grátis, e depois de um mês, oferecemos o produto por um preço. Descobrimos que 30% da amostra decidiu comprar o produto. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança para com um nível de confiança de 95%. Para isso, vamos utilizar conceitos de estatística sobre estimativas de proporção e intervalos de confiança.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a proporção amostral ( ), que é a proporção de sucesso na amostra. No nosso caso, 30% dos 200 consumidores decidiram comprar o produto. Então:

Passo 3

Para construir um intervalo de confiança para a proporção populacional , usamos a fórmula:
Aqui:
  • é a proporção amostral.
  • é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado.
  • é o tamanho da amostra.
Esse intervalo nos dá uma faixa na qual esperamos que a verdadeira proporção esteja, com a confiança especificada.

Passo 4

Para um nível de confiança de 95%, precisamos encontrar o valor crítico que corresponde a 95% da distribuição normal. Esse valor é aproximadamente 1,96.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do intervalo de confiança:
Primeiro, calculamos o erro padrão:
Agora, multiplicamos o erro padrão pelo valor crítico :
Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
Isso nos dá:

Resposta

O intervalo de confiança para a proporção com 95% de confiança é aproximadamente de 23,65% a 36,35%.

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