Em uma pesquisa mercadológica, deseja-se estimar, dentre os consumidores em potencial de uma certa cidade, a proporção p de consumidores que passariam a usar certo produto após experimentá-lo pela primeira vez. Para atingir este objetivo, selecionou-se uma amostra aleatória de 200 consumidores potenciais, fornecendolhes amostras grátis do produto. Depois de uma mês, voltou-se a contatar os consumidores da amostra, oferecendo-lhes o produto por um certo preço. Trinta por cento da amostra decidiu adquirir o produto. Construa uma estimativa intervalar para p com nível de confiança de 95 %.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma pesquisa de mercado onde queremos estimar a proporção de consumidores que usariam um certo produto após experimentá-lo pela primeira vez. Selecionamos uma amostra aleatória de 200 consumidores, distribuímos amostras grátis, e depois de um mês, oferecemos o produto por um preço. Descobrimos que 30% da amostra decidiu comprar o produto. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança para com um nível de confiança de 95%. Para isso, vamos utilizar conceitos de estatística sobre estimativas de proporção e intervalos de confiança.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a proporção amostral ( p = 30% times 200200 = 0,30 ), que é a proporção de sucesso na amostra. No nosso caso, 30% dos 200 consumidores decidiram comprar o produto. Então:

Passo 3

Para construir um intervalo de confiança para a proporção populacional p pm z times raizp(1 - p)n , usamos a fórmula:
Aqui:
  • é a proporção amostral.
  • é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado.
  • é o tamanho da amostra.
Esse intervalo nos dá uma faixa na qual esperamos que a verdadeira proporção esteja, com a confiança especificada.

Passo 4

Para um nível de confiança de 95%, precisamos encontrar o valor crítico que corresponde a 95% da distribuição normal. Esse valor é aproximadamente 1,96.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do intervalo de confiança:
p = 0,30, z = 1,96, n = 200
Primeiro, calculamos o erro padrão:
raiz0,30 times (1 - 0,30)200 = raiz0,30 times 0,70200 = raiz0,21200 approx raiz0,00105 approx 0,0324
Agora, multiplicamos o erro padrão pelo valor crítico 1,96 times 0,0324 approx 0,0635 :
0,30 pm 0,0635
Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
0,30 - 0,0635 = 0,2365
Isso nos dá:
0,30 + 0,0635 = 0,3635

Resposta

O intervalo de confiança para a proporção com 95% de confiança é aproximadamente de 23,65% a 36,35%.

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