Em uma determinada região ocorre em média 1 geada a cada 5 anos. Vamos definir X como sendo o número de geadas nos próximos 5 anos.
Qual é a probabilidade de ocorrência de pelo menos duas geadas nos próximos 5 anos? (Resposta: 0,2642)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que, em média, acontece 1 geada a cada 5 anos nessa região. Queremos descobrir a probabilidade de que, nos próximos 5 anos, ocorram pelo menos duas geadas. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para contar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de λ (lambda), que na Distribuição de Poisson representa a média de ocorrências no intervalo de tempo considerado. Nesse caso, λ = 1 geada a cada 5 anos.

Passo 3

A fórmula da Distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de exatamente P(X = k) = e^-lambda lambda^kk! eventos é:
Onde:
  • é a base do logaritmo natural,
  • é a média de ocorrências,
  • é o fatorial de .

Passo 4

Queremos a probabilidade de pelo menos duas geadas, ou seja, P(X >= 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] . Isso pode ser calculado subtraindo da probabilidade total (1) a soma das probabilidades de ocorrerem 0 ou 1 geada:

Passo 5

Vamos calcular P(X = 0) = e^-1 cdot 1^00! = e^-1 cdot 11 = e^-1 :

Passo 6

Agora, calculamos P(X = 1) = e^-1 cdot 1^11! = e^-1 cdot 11 = e^-1 :

Passo 7

Somando as probabilidades de 0 e 1 geada:
P(X = 0) + P(X = 1) = e^-1 + e^-1 = 2e^-1

Passo 8

Subtraindo essa soma de 1 para encontrar P(X >= 2) = 1 - 2e^-1 :
e^-1 approx 0,3679
Calculando os valores numéricos:
2e^-1 approx 0,7358
P(X >= 2) = 1 - 0,7358 = 0,2642

Resposta

A probabilidade de ocorrência de pelo menos duas geadas nos próximos 5 anos é aproximadamente 0,2642.

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