Um determinado campo de velocidades é dado pela seguinte equação:
Para este escoamento, determinar a expressão do vetor aceleração no ponto (x, y, z) .
Passo 1
Então, a gente tem um campo de velocidades dado por:
O que a questão pede é para encontrar o vetor aceleração nesse campo no ponto específico . Pra resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a derivada material que nos ajuda a calcular a aceleração em um campo de velocidades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor aceleração. Em um campo de velocidades, a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo para uma partícula em movimento. Como não há dependência explícita do tempo no nosso campo de velocidades, a aceleração será dada pelo produto escalar do vetor velocidade com o gradiente do vetor velocidade, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo de velocidades:
-
-
-
Essas são as velocidades nas direções , e , respectivamente.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente da velocidade em relação a , e :
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Passo 5
Agora, vamos calcular cada componente da aceleração usando a fórmula:
Para cada direção:
- **Componente :**
- **Componente :**
Substituindo , , e os valores de , , :
- **Componente :**
Substituindo , :
Resposta
O vetor aceleração no ponto é:
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