Um determinado campo de velocidades é dado pela seguinte equação:
V=10 imath+(x^2+y^2) jmath-2 x y widehatk
Para este escoamento, determinar a expressão do vetor aceleração no ponto (x, y, z) =(3,1,0).

Passo 1

Então, a gente tem um campo de velocidades dado por:
V = 10 imath + (x^2 + y^2) jmath - 2xy k
O que a questão pede é para encontrar o vetor aceleração nesse campo no ponto específico (3, 1, 0). Pra resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a derivada material que nos ajuda a calcular a aceleração em um campo de velocidades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor aceleração. Em um campo de velocidades, a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo para uma partícula em movimento. Como não há dependência explícita do tempo no nosso campo de velocidades, a aceleração será dada pelo produto escalar do vetor velocidade com o gradiente do vetor velocidade, ou seja:
a = (V cdot nabla) V

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo de velocidades:
  • Vx = 10
  • Vy = x^2 + y^2
  • Vz = -2xy
Essas são as velocidades nas direções imath, jmath e k, respectivamente.

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente da velocidade em relação a x, y e z:
  • partial Vxpartial x = 0
  • partial Vxpartial y = 0
  • partial Vxpartial z = 0
  • partial Vypartial x = 2x
  • partial Vypartial y = 2y
  • partial Vypartial z = 0
  • partial Vzpartial x = -2y
  • partial Vzpartial y = -2x
  • partial Vzpartial z = 0

Passo 5

Agora, vamos calcular cada componente da aceleração usando a fórmula:
ai = Vx partial Vipartial x + Vy partial Vipartial y + Vz partial Vipartial z
Para cada direção:
  • Componente imath:
ax = Vx cdot 0 + Vy cdot 0 + Vz cdot 0 = 0
  • Componente jmath:
ay = Vx cdot 2x + Vy cdot 2y + Vz cdot 0
Substituindo x = 3, y = 1, e os valores de Vx, Vy, Vz:
ay = 10 cdot 6 + 10 cdot 2 + (-6) cdot 0 = 60 + 20 = 80
  • Componente k:
az = Vx cdot (-2y) + Vy cdot (-2x) + Vz cdot 0
Substituindo x = 3, y = 1:
az = 10 cdot (-2) + 10 cdot (-6) + (-6) cdot 0 = -20 -60 = -80

Resposta

O vetor aceleração no ponto (3, 1, 0) é:
a = 0, imath + 80, jmath - 80, k

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