Um determinado campo de velocidades é dado pela seguinte equação:
Para este escoamento, determinar a expressão do vetor aceleração no ponto (x, y, z)
.
Passo 1
Então, a gente tem um campo de velocidades dado por:
O que a questão pede é para encontrar o vetor aceleração nesse campo no ponto específico
. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a derivada material que nos ajuda a calcular a aceleração em um campo de velocidades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor aceleração. Em um campo de velocidades, a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo para uma partícula em movimento. Como não há dependência explícita do tempo no nosso campo de velocidades, a aceleração será dada pelo produto escalar do vetor velocidade com o gradiente do vetor velocidade, ou seja:
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo de velocidades:
Essas são as velocidades nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente da velocidade em relação a
,
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada componente da aceleração usando a fórmula:
Para cada direção:
- Componente
:
- Componente
:
Substituindo
,
, e os valores de
,
,
:
- Componente
:
Substituindo
,
:
Resposta
O vetor aceleração no ponto
é: