Um determinado campo de velocidades é dado pela seguinte equação: Para este escoamento, determinar a expressão do vetor aceleração no ponto (x, y, z) .

Passo 1

Então, a gente tem um campo de velocidades dado por: O que a questão pede é para encontrar o vetor aceleração nesse campo no ponto específico . Pra resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente a derivada material que nos ajuda a calcular a aceleração em um campo de velocidades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor aceleração. Em um campo de velocidades, a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo para uma partícula em movimento. Como não há dependência explícita do tempo no nosso campo de velocidades, a aceleração será dada pelo produto escalar do vetor velocidade com o gradiente do vetor velocidade, ou seja:

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo de velocidades: - - - Essas são as velocidades nas direções , e , respectivamente.

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente da velocidade em relação a , e : - - - - - - - - -

Passo 5

Agora, vamos calcular cada componente da aceleração usando a fórmula: Para cada direção: - **Componente :** - **Componente :** Substituindo , , e os valores de , , : - **Componente :** Substituindo , :

Resposta

O vetor aceleração no ponto é:

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