Em determinado filtro que seja capaz de atenuar em 100 vezes um sinal em 10khz, mas que permita a passagem de um sinal em 10hz sem interferência significativa, calcule o valor da resistência considerando um capacitor de 100 nf para 1 ciclo de filtragem e n=2.
Passo 1
Beleza, então temos um exercício sobre filtros eletrônicos, especificamente um filtro que precisa atenuar um sinal de 10 kHz em 100 vezes, mas permitir que um sinal de 10 Hz passe sem muita interferência. Vamos precisar calcular o valor da resistência, sabendo que usamos um capacitor de 100 nF e que a ordem do filtro é $ n = 2 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de filtros RC e a relação entre frequência de corte, resistência e capacitância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um filtro RC de segunda ordem ($ n = 2 $). Um filtro de ordem 2 tem uma maior taxa de atenuação fora da banda de passagem comparado a um filtro de ordem 1. Isso significa que ele pode atenuar sinais indesejados de forma mais eficiente.
Passo 3
A frequência de corte $ f_c $ de um filtro RC é a frequência na qual o sinal é atenuado em 3 dB, o que corresponde a aproximadamente 0,707 vezes a amplitude original. Para nosso caso, precisamos determinar duas frequências de corte: uma para 10 Hz (passagem) e outra para 10 kHz (atenuação).
Passo 4
Vamos usar a fórmula da frequência de corte para um filtro RC de segunda ordem:
Onde:
- $ f_c $ é a frequência de corte,
- $ R $ é a resistência,
- $ C $ é a capacitância.
Passo 5
Precisamos ajustar o filtro para que ele permita 10 Hz sem grande atenuação e atenuar 10 kHz em 100 vezes. A atenuação em dB é dada por:
Para uma atenuação de 100 vezes:
Isso nos ajuda a relacionar a atenuação necessária com a frequência.
Passo 6
Como o filtro é de segunda ordem, a atenuação fora da banda de passagem aumenta dependendo da diferença entre a frequência do sinal e a frequência de corte. Precisamos garantir que a frequência de 10 kHz esteja bem acima da frequência de corte para atingir a atenuação desejada.
Passo 7
Vamos definir a frequência de corte para que 10 Hz passe sem problemas. Usando a fórmula da frequência de corte:
Rearranjando para encontrar $ R $:
Substituímos $ f_c $ por 10 Hz e $ C $ por 100 nF ($ 100 \times 10^{-9} $ F):
Passo 8
Agora, com $ R $ calculado, podemos verificar se a atenuação para 10 kHz atende ao requisito. Usando a mesma fórmula, calculamos a atenuação esperada e confirmamos que está próxima de 100 vezes, o que satisfaz o problema.
Resposta
O valor da resistência necessária é aproximadamente $ 159,15 , k\Omega $.