Determinar o ángulo de elevação de modo que a altura máximá atingida por um projetil seja igual ao alcance medido na horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o ângulo de elevação com que um projetil deve ser lançado de modo que a altura máxima que ele atinge seja igual ao seu alcance horizontal. Ou seja, temos que relacionar o quanto ele sobe com a distância que ele percorre. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de movimento de projéteis, especificamente as que calculam a altura máxima e o alcance horizontal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a altura máxima que um projetil alcança. A fórmula é:
Onde:
-
é a altura máxima, -
é a velocidade inicial, -
é o ângulo de lançamento, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula para o alcance horizontal do projetil:
Onde:
-
é o alcance, - Os outros símbolos são os mesmos da fórmula anterior.
Passo 4
O exercício diz que a altura máxima deve ser igual ao alcance. Então, vamos igualar as duas fórmulas:
Percebemos que
e
aparecem nos dois lados, então podemos simplificar cancelando esses termos:
Passo 5
Vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona o seno de um ângulo com o seno do dobro do ângulo:
Substituindo na equação anterior:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Passo 6
Agora, vamos dividir ambos os lados por
(desde que
, o que faz sentido aqui, já que o ângulo não pode ser 0 ou 180 graus para um projétil):
Passo 7
Vamos dividir ambos os lados por
, lembrando que
:
Passo 8
Para encontrar o ângulo
, usamos a função inversa da tangente:
Calculando isso, temos aproximadamente:
Resposta
O ângulo de elevação necessário é aproximadamente 76 graus.