Determinar o ángulo de elevação de modo que a altura máximá atingida por um projetil seja igual ao alcance medido na horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o ângulo de elevação com que um projetil deve ser lançado de modo que a altura máxima que ele atinge seja igual ao seu alcance horizontal. Ou seja, temos que relacionar o quanto ele sobe com a distância que ele percorre. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas de movimento de projéteis, especificamente as que calculam a altura máxima e o alcance horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a altura máxima que um projetil alcança. A fórmula é:
H = v0^2 sin^2 theta2g
Onde:
  • é a altura máxima,
  • é a velocidade inicial,
  • é o ângulo de lançamento,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ²).

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula para o alcance horizontal do projetil:
R = v0^2 sin 2thetag
Onde:
  • é o alcance,
  • Os outros símbolos são os mesmos da fórmula anterior.

Passo 4

O exercício diz que a altura máxima deve ser igual ao alcance. Então, vamos igualar as duas fórmulas:
v0^2 sin^2 theta2g = v0^2 sin 2thetag
Percebemos que sin^2 theta2 = sin 2theta e aparecem nos dois lados, então podemos simplificar cancelando esses termos:

Passo 5

Vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona o seno de um ângulo com o seno do dobro do ângulo:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta
Substituindo na equação anterior:
sin^2 theta2 = 2 sin theta cos theta
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
sin^2 theta = 4 sin theta cos theta

Passo 6

Agora, vamos dividir ambos os lados por sin theta = 4 cos theta (desde que , o que faz sentido aqui, já que o ângulo não pode ser 0 ou 180 graus para um projétil):

Passo 7

Vamos dividir ambos os lados por tan theta = 4 , lembrando que :

Passo 8

Para encontrar o ângulo theta = arctan(4) , usamos a função inversa da tangente:
theta approx 75,96^circ
Calculando isso, temos aproximadamente:

Resposta

O ângulo de elevação necessário é aproximadamente 76 graus.

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