Determinar a área entre as curvas y=x² e y= 8-x²

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a área entre as curvas $ y = x^2 $ e $ y = 8 - x^2 $. A gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para calcular essa área. Primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da nossa área.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas expressões de $ y $:
y
Vamos resolver isso:
x^2 = 8 - x^2
Então, as curvas se intersectam nos pontos $ x = -2 $ e $ x = 2 $.

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos determinar qual delas está acima da outra entre esses pontos. Vamos escolher um valor de $ x $ entre -2 e 2, por exemplo, $ x = 0 $:
x
Vemos que $ y = 8 - x^2 $ está acima de $ y = x^2 $ nesse intervalo.

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença entre as funções de cima e de baixo, de $ x = -2 $ até $ x = 2 $:
x = -2 Á

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral (8 - 2x^2) dx = 8x - 23x^3 + C
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de -2 a 2:
[8x - 23x^3 ]-2^2

Passo 6

Calculando para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = -2 $:
8(2) - 23(2)^3 = 16 - 163 = 483 - 163 = 323

Passo 7

A área total é a diferença entre esses valores:
323 - (-323) = 643

Resposta

Portanto, a área entre as curvas $ y = x^2 $ e $ y = 8 - x^2 $ é $ \frac{64}{3} $ unidades quadradas.

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