Determinar a área entre as curvas y=x² e y= 8-x²
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a área entre as curvas $ y = x^2 $ e $ y = 8 - x^2 $. A gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para calcular essa área. Primeiro, precisamos entender onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da nossa área.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas expressões de $ y $:
Vamos resolver isso:
Então, as curvas se intersectam nos pontos $ x = -2 $ e $ x = 2 $.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, precisamos determinar qual delas está acima da outra entre esses pontos. Vamos escolher um valor de $ x $ entre -2 e 2, por exemplo, $ x = 0 $:
Vemos que $ y = 8 - x^2 $ está acima de $ y = x^2 $ nesse intervalo.
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença entre as funções de cima e de baixo, de $ x = -2 $ até $ x = 2 $:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de -2 a 2:
Passo 6
Calculando para $ x = 2 $:
Para $ x = -2 $:
Passo 7
A área total é a diferença entre esses valores:
Resposta
Portanto, a área entre as curvas $ y = x^2 $ e $ y = 8 - x^2 $ é $ \frac{64}{3} $ unidades quadradas.