Um professor de matemática em uma aula de geometria pediu que cada aluno construísse um poliedro convexo regular com 20 faces triangulares podemos afirmar que o número de vértices do poliedro construído por cada aluno é igual a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir quantos vértices tem um poliedro convexo regular que tem 20 faces triangulares. Isso cai na área de geometria, mais especificamente no estudo dos poliedros. Para resolver isso, vamos precisar usar uma relação conhecida chamada Fórmula de Euler, que ajuda a conectar vértices, arestas e faces de um poliedro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um poliedro convexo regular. Essencialmente, é uma forma sólida onde todas as faces são polígonos regulares iguais, e todas as arestas têm o mesmo comprimento. No caso, sabemos que as 20 faces são triângulos, então estamos lidando com um icosaedro, mas vamos chegar lá por meio da fórmula.

Passo 3

A Fórmula de Euler para poliedros convexos é:
V - E + F = 2
Onde:
- $ V $ é o número de vértices,
- $ E $ é o número de arestas,
- $ F $ é o número de faces.

Passo 4

Sabemos que $ F = 20 $ (20 faces triangulares). Precisamos encontrar $ V $, mas também precisamos descobrir $ E $. Para isso, vamos usar o fato de que cada face é um triângulo, que tem 3 arestas, mas como cada aresta é compartilhada por duas faces, o número total de arestas é:
F = 20

Passo 5

Agora que temos $ E = 30 $ e $ F = 20 $, vamos substituir esses valores na Fórmula de Euler para encontrar $ V $:
E = 30
F = 20
V

Resposta

O poliedro construído por cada aluno tem 12 vértices.

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