Determinar a distância do ponto P=(2,-1,2) aos planos pi1: 2 x-2 y-z+3=0 e pi2: x+y+z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a distância do ponto aos dois planos dados: e . Para isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e um plano no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar a distância D = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 de um ponto a um plano definido por . A fórmula é:
Essa fórmula funciona porque ela projeta o vetor posição do ponto sobre a normal do plano, medindo assim a distância perpendicular.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula primeiro para o plano D1 = |2 times 2 + (-2) times (-1) + (-1) times 2 + 3|raiz2^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = |4 + 2 - 2 + 3|raiz4 + 4 + 1 = |7|raiz9 = 73 approx 2,33 . Aqui, os coeficientes são:
E o ponto tem coordenadas .
Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância para o segundo plano D2 = |1 times 2 + 1 times (-1) + 1 times 2 + 0|raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = |2 - 1 + 2|raiz1 + 1 + 1 = |3|raiz3 = 3raiz3 = raiz3 approx 1,73 , que é . Aqui, os coeficientes são:
Usando a mesma fórmula:

Resposta

A distância do ponto ao plano é aproximadamente unidades, e ao plano é aproximadamente unidades.

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