Determinar a equação do plano que contém o ponto e a reta
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Determinar a equação geral do plano , que passa pelo ponto e é perpendicular à reta , interseção dos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que contém uma reta definida pelas equações:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre planos e retas no espaço. Precisamos identificar um vetor normal ao plano e usar as informações dadas para montar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta que está sendo dada. Ela é a interseção de dois planos:
A reta onde esses dois planos se encontram tem uma direção que é perpendicular aos vetores normais de e . Vamos encontrar esses vetores normais.
Passo 3
O vetor normal de é e o vetor normal de é . A direção da reta é dada pelo produto vetorial desses vetores normais:
Vamos calcular esse produto vetorial.
Passo 4
Calculando o produto vetorial:
d = i(-2 + 1) - j(-1 + 2) + k(1 - 4) d = i(-1) - j(1) + k(-3) d = (-1, -1, -3)
Podemos simplificar para .
Passo 5
Agora que temos a direção da reta, precisamos de um vetor que seja paralelo à reta e ao plano que queremos encontrar. Além disso, sabemos que o plano também passa pelo ponto .
Para definir o plano, precisamos de um vetor normal a ele. Esse vetor normal será perpendicular à direção da reta e a um vetor que vai de até um ponto qualquer na reta.
Passo 6
Vamos encontrar um ponto na reta. Para isso, podemos resolver o sistema das equações da reta. Vamos resolver para x + 2y - 0 - 1 = 0 Rightarrow x + 2y = 1 2x + y - 0 + 7 = 0 Rightarrow 2x + y = -7 :
2x + 4y = 2 2x + y = -7
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Agora, vamos formar o vetor AB = B - A = (-5 - 3, 3 - 2, 0 - 1) = (-8, 1, -1) :
Temos dois vetores no plano: e . O vetor normal ao plano será o produto vetorial desses dois vetores.
Passo 8
Calculando o produto vetorial:
n = d times AB = i & j & k 1 & 1 & 3 -8 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 3 cdot 1) - j(1 cdot (-1) - 3 cdot (-8)) + k(1 cdot 1 - 1 cdot (-8))
n = i(-1 - 3) - j(-1 + 24) + k(1 + 8) n = i(-4) - j(23) + k(9) n = (-4, -23, 9)
Podemos simplificar os sinais: .
Passo 9
Com o vetor normal 4(x - 3) + 23(y - 2) - 9(z - 1) = 0 e o ponto 4x - 12 + 23y - 46 - 9z + 9 = 0 4x + 23y - 9z - 49 = 0 , a equação do plano é dada por: