Determinar a equação do plano que contém o ponto A=(3,2,1) e a reta
r x+2 y-z-1=0 2 x+y-z+7=0
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Determinar a equação geral do plano pi, que passa pelo ponto P=(2,5,3) e é perpendicular à reta r, interseção dos planos pi1: x-2 y+z-1=0 e pi2: 3 x+2 y-3 z+5=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto x + 2y - z - 1 = 0 2x + y - z + 7 = 0 e que contém uma reta definida pelas equações:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre planos e retas no espaço. Precisamos identificar um vetor normal ao plano e usar as informações dadas para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta que está sendo dada. Ela é a interseção de dois planos:
pi1: x + 2y - z - 1 = 0 pi2: 2x + y - z + 7 = 0
A reta onde esses dois planos se encontram tem uma direção que é perpendicular aos vetores normais de e . Vamos encontrar esses vetores normais.

Passo 3

O vetor normal de d = n1 times n2 é e o vetor normal de é . A direção da reta é dada pelo produto vetorial desses vetores normais:
Vamos calcular esse produto vetorial.

Passo 4

Calculando o produto vetorial:
d = i & j & k 1 & 2 & -1 2 & 1 & -1 = i(2 cdot (-1) - (-1) cdot 1) - j(1 cdot (-1) - (-1) cdot 2) + k(1 cdot 1 - 2 cdot 2)
d = i(-2 + 1) - j(-1 + 2) + k(1 - 4) d = i(-1) - j(1) + k(-3) d = (-1, -1, -3)
Podemos simplificar para .

Passo 5

Agora que temos a direção da reta, precisamos de um vetor que seja paralelo à reta e ao plano que queremos encontrar. Além disso, sabemos que o plano também passa pelo ponto .
Para definir o plano, precisamos de um vetor normal a ele. Esse vetor normal será perpendicular à direção da reta e a um vetor que vai de até um ponto qualquer na reta.

Passo 6

Vamos encontrar um ponto na reta. Para isso, podemos resolver o sistema das equações da reta. Vamos resolver para x + 2y - 0 - 1 = 0 Rightarrow x + 2y = 1 2x + y - 0 + 7 = 0 Rightarrow 2x + y = -7 :
2x + 4y = 2 2x + y = -7
Resolvendo esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
(2x + 4y) - (2x + y) = 2 - (-7) Rightarrow 3y = 9 Rightarrow y = 3
Subtraindo:
x + 6 = 1 Rightarrow x = -5
Substituindo em :
Então, um ponto na reta é .

Passo 7

Agora, vamos formar o vetor AB = B - A = (-5 - 3, 3 - 2, 0 - 1) = (-8, 1, -1) :
Temos dois vetores no plano: e . O vetor normal ao plano será o produto vetorial desses dois vetores.

Passo 8

Calculando o produto vetorial:
n = d times AB = i & j & k 1 & 1 & 3 -8 & 1 & -1 = i(1 cdot (-1) - 3 cdot 1) - j(1 cdot (-1) - 3 cdot (-8)) + k(1 cdot 1 - 1 cdot (-8))
n = i(-1 - 3) - j(-1 + 24) + k(1 + 8) n = i(-4) - j(23) + k(9) n = (-4, -23, 9)
Podemos simplificar os sinais: .

Passo 9

Com o vetor normal 4(x - 3) + 23(y - 2) - 9(z - 1) = 0 e o ponto 4x - 12 + 23y - 46 - 9z + 9 = 0 4x + 23y - 9z - 49 = 0 , a equação do plano é dada por:
Expandindo:

Resposta

A equação do plano é .

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l x=1+raiz2 sec theta y=-2+3 tan theta
em seguida represente graficamente a cônica.
Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(b) (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}=\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})
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