Obtenha uma equação geral da cônica dada abaixo por equações paramétricas
l x=1+raiz2 sec theta y=-2+3 tan theta
em seguida represente graficamente a cônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas que descrevem uma cônica. Nosso objetivo é transformar essas equações em uma equação geral só em termos de e . Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e manipulação algébrica.

Passo 2

Vamos começar anotando as equações que a gente tem:
x = 1 + raiz2 sec theta y = -2 + 3 tan theta
Aqui, é o parâmetro que está variando.

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar o x = 1 + raiz2 sec theta Rightarrow sec theta = x - 1raiz2 . Para isso, vamos expressar y = -2 + 3 tan theta Rightarrow tan theta = y + 23 e em termos de e .
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 4

Agora, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
sec^2 theta - tan^2 theta = 1
Vamos substituir e pelas expressões que encontramos em termos de e .

Passo 5

Substituindo na identidade:
(x - 1raiz2)^2 - (y + 23)^2 = 1
Vamos simplificar isso:
(x - 1)^22 - (y + 2)^29 = 1

Resposta

A equação geral da cônica é:
(x - 1)^22 - (y + 2)^29 = 1
Essa é a equação de uma hipérbole, que pode ser representada graficamente como duas curvas abertas, simétricas em relação aos eixos coordenados.

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20
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