Obtenha uma equação geral da cônica dada abaixo por equações paramétricas
em seguida represente graficamente a cônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um par de equações paramétricas que descrevem uma cônica. Nosso objetivo é transformar essas equações em uma equação geral só em termos de
e
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e manipulação algébrica.
Passo 2
Vamos começar anotando as equações que a gente tem:
Aqui,
é o parâmetro que está variando.
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar o
. Para isso, vamos expressar
e
em termos de
e
.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 4
Agora, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
Vamos substituir
e
pelas expressões que encontramos em termos de
e
.
Passo 5
Substituindo na identidade:
Vamos simplificar isso:
Resposta
A equação geral da cônica é:
Essa é a equação de uma hipérbole, que pode ser representada graficamente como duas curvas abertas, simétricas em relação aos eixos coordenados.
Exercícios relacionados
Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(b) (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}=\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})
(b) (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}=\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})
Considere o plano
de equação
e o ponto
.
© Existe algum ponto do plano cuja distância ao ponto
é menor que 1? Justifique.
© Existe algum ponto do plano
Determinar a equação do plano que contém o ponto
e a reta
20
Determinar a equação geral do plano , que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
, interseção dos planos
e
.
Determinar a equação geral do plano
Considere o plano
de equação
e o ponto
.
(b) Determine a equação do plano que passa por e é paralelo ao plano
;
(b) Determine a equação do plano que passa por