Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(b) (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}=\vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício envolvendo vetores no espaço tridimensional, mais especificamente o produto vetorial. A questão pergunta se a igualdade sempre é verdadeira para quaisquer vetores , e . Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades do produto vetorial e verificar se essa igualdade se mantém em todos os casos ou se há exceções.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores e em resulta em um terceiro vetor que é perpendicular a ambos e . Uma coisa importante de lembrar é que o produto vetorial não é associativo, ou seja, na maioria dos casos, . Isso significa que, a menos que haja uma condição especial, essa igualdade não vai sempre valer.

Passo 3

Vamos testar isso com um exemplo concreto. Escolhemos três vetores simples:
u = 1 0 0 , v = 0 1 0 , w = 0 0 1
Esses são os vetores unitários nas direções dos eixos , e respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular os dois lados da igualdade separadamente.
Primeiro, calculamos u times v = 1 0 0 times 0 1 0 = 0 0 1 :
0 0 1 times 0 0 1 = 0 0 0
Agora, fazemos o produto vetorial desse resultado com v times w = 0 1 0 times 0 0 1 = 1 0 0 :
1 0 0 times 1 0 0 = 0 0 0
Agora, vamos calcular :
E agora, fazemos o produto vetorial de com esse resultado:

Resposta

Apesar de, neste exemplo específico, os dois lados da igualdade resultarem no vetor nulo 0 0 0 , isso ocorre porque os vetores escolhidos são ortogonais e se anulam nesse contexto. Em geral, o produto vetorial não é associativo, ou seja, a igualdade é falsa. Um exemplo mais direto onde a igualdade não se sustenta é utilizando os vetores apresentados, onde, dependendo dos vetores escolhidos, essa igualdade pode não se manter.

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