Determinar as equaçóes paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) eć paralela a cada um dos planos
pi1: 2 x-y-z+1=0 e pi2: x+3 y+z-5=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é paralela a dois planos, e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, especialmente aqueles relacionados a retas e planos. Vamos precisar encontrar um vetor diretor para a reta que seja paralelo a ambos os planos dados.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma reta ser paralela a dois planos. Se uma reta é paralela a dois planos, isso implica que ela está na mesma direção da linha de interseção desses dois planos. Ou seja, o vetor diretor da reta será paralelo à linha onde os planos e se cruzam.

Passo 3

Para encontrar a linha de interseção dos planos 2x - y - z + 1 = 0 x + 3y + z - 5 = 0 e , vamos precisar resolver o sistema de equações formado por:
Vamos resolver esse sistema para encontrar uma relação entre , e .

Passo 4

Vamos somar as duas equações para eliminar (2x - y - z + 1) + (x + 3y + z - 5) = 0 + 0 3x + 2y - 4 = 0 :
3x = -2y + 4 x = -2y + 43
Agora, resolvemos essa equação para expressar uma variável em função da outra. Vamos resolver para :

Passo 5

Agora que temos y = t x = -2t + 43 em função de x + 3y + z - 5 = 0 -2t + 43 + 3t + z - 5 = 0 , podemos escolher um parâmetro para . Vamos usar , onde é um parâmetro real. Então:
Agora, substituímos em uma das equações originais para encontrar . Vamos usar a segunda equação:

Passo 6

Multiplicando toda a equação por 3 para eliminar o denominador:
(-2t + 4) + 9t + 3z - 15 = 0 7t + 3z - 11 = 0 3z = -7t + 11 z = -7t + 113

Passo 7

Agora temos todas as coordenadas x = -2t + 43 y = t z = -7t + 113 , e em função do parâmetro :
Essas são as equações paramétricas da linha de interseção dos planos e , ou seja, o vetor diretor dessa linha.

Passo 8

Como a reta que queremos encontrar é paralela a ambos os planos d = ( -23, 1, -73 ) e , ela terá o mesmo vetor diretor da linha de interseção dos planos. Portanto, o vetor diretor da nossa reta será:

Passo 9

Agora, usamos o ponto x = -1 + -23t y = 0 + 1 cdot t z = 0 + -73t e o vetor diretor para escrever as equações paramétricas da reta:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = -1 - 23t y = t z = -73t
Onde é um parâmetro real.

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