Determinar as equaçóes paramétricas da reta que passa pelo ponto eć paralela a cada um dos planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é paralela a dois planos, e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, especialmente aqueles relacionados a retas e planos. Vamos precisar encontrar um vetor diretor para a reta que seja paralelo a ambos os planos dados.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma reta ser paralela a dois planos. Se uma reta é paralela a dois planos, isso implica que ela está na mesma direção da linha de interseção desses dois planos. Ou seja, o vetor diretor da reta será paralelo à linha onde os planos e se cruzam.
Passo 3
Para encontrar a linha de interseção dos planos e , vamos precisar resolver o sistema de equações formado por:
Vamos resolver esse sistema para encontrar uma relação entre , e .
Passo 4
Vamos somar as duas equações para eliminar :
Agora, resolvemos essa equação para expressar uma variável em função da outra. Vamos resolver para :
Passo 5
Agora que temos em função de , podemos escolher um parâmetro para . Vamos usar , onde é um parâmetro real. Então:
Agora, substituímos em uma das equações originais para encontrar . Vamos usar a segunda equação:
Passo 6
Multiplicando toda a equação por 3 para eliminar o denominador:
Passo 7
Agora temos todas as coordenadas , e em função do parâmetro :
Essas são as equações paramétricas da linha de interseção dos planos e , ou seja, o vetor diretor dessa linha.
Passo 8
Como a reta que queremos encontrar é paralela a ambos os planos d = ( -23, 1, -73 ) e , ela terá o mesmo vetor diretor da linha de interseção dos planos. Portanto, o vetor diretor da nossa reta será:
Passo 9
Agora, usamos o ponto x = -1 + -23t y = 0 + 1 cdot t z = 0 + -73t e o vetor diretor para escrever as equações paramétricas da reta: