Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
(a) R: y = -x^2 + 6x - 8, y = 0;
E: eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o volume do sólido que surge ao girar a região em torno do eixo (o eixo ). A região é delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas) que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam, ou seja, quando . Isso vai nos dar os limites de integração.
Vamos resolver essa equação quadrática:
Fatorando:
Então, as soluções são e . Esses serão os limites inferiores e superiores da nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos cilindros. A fórmula para o volume usando esse método quando se gira em torno do eixo é:
Aqui, , e , .

Passo 4

Substituindo na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de a :
Calculando cada termo:
Para :
Para :
Substituindo de volta:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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