Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
(a)
;
eixo
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o volume do sólido que surge ao girar a região
em torno do eixo
(o eixo
). A região
é delimitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas) que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam, ou seja, quando
. Isso vai nos dar os limites de integração.
Vamos resolver essa equação quadrática:
Fatorando:
Então, as soluções são
e
. Esses serão os limites inferiores e superiores da nossa integral.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos cilindros. A fórmula para o volume
usando esse método quando se gira em torno do eixo
é:
Aqui,
, e
,
.
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Calculando cada termo:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.