Determinar um ponto equidistante dos vertices A(-1,1),B(2,1) e C(3,2) do triangulo ABC?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema é encontrar um ponto que está igualmente distante dos três vértices A(-1,1), B(2,1) e C(3,2) de um triângulo ABC. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente sobre circuncentro, que é o ponto que é equidistante de todos os vértices de um triângulo. Vamos precisar calcular as mediatrizes de dois lados do triângulo e encontrar onde elas se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser equidistante dos três vértices. Um ponto equidistante de três pontos é aquele que tem a mesma distância para cada um deles. No contexto de um triângulo, esse ponto é chamado de circuncentro e é encontrado na interseção das mediatrizes dos lados do triângulo. As mediatrizes são retas perpendiculares aos lados e que passam pelos seus pontos médios.

Passo 3

Vamos começar escolhendo dois lados do triângulo para encontrar suas mediatrizes. Vou escolher os lados AB e AC.
Lado AB:
  • Ponto A: (-1, 1)
  • Ponto B: (2, 1)
Lado AC:
  • Ponto A: (-1, 1)
  • Ponto C: (3, 2)

Passo 4

Vamos encontrar o ponto médio de cada lado.
Ponto médio de AB:
MAB = ( -1 + 22, 1 + 12 ) = ( 12, 1 )
Ponto médio de AC:
MAC = ( -1 + 32, 1 + 22 ) = ( 1, 32 )

Passo 5

Agora, vamos encontrar as inclinações dos lados AB e AC para determinar as inclinações das suas mediatrizes, que são perpendiculares aos lados.
Inclinação de AB:
mAB = 1 - 12 - (-1) = 03 = 0
Como a inclinação é 0, a linha é horizontal. Portanto, a mediatriz será uma linha vertical. A mediatriz de AB passa pelo ponto médio $ M_{AB} \left( \frac{1}{2}, 1 \right) $, então sua equação é:
MAB ( 12, 1 )
Inclinação de AC:
x = 12
A inclinação da mediatriz será o negativo do inverso de $ m_{AC} $:
mAC = 2 - 13 - (-1) = 14
Usando o ponto médio $ M_{AC} (1, \frac{3}{2}) $, podemos escrever a equação da mediatriz de AC:
mAC
Simplificando:
mmediatriz de AC = -114 = -4

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ponto de interseção das duas mediatrizes, que será o circuncentro.
Temos:
x = 12
Substituindo na equação da mediatriz de AC:
y = -4( 12 ) + 112 = -2 + 112 = 72

Resposta

O ponto equidistante dos vértices A(-1,1), B(2,1) e C(3,2) do triângulo ABC é $ \left( \frac{1}{2}, \frac{7}{2} \right) $.

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