Determinar um ponto equidistante dos vertices A(-1,1),B(2,1) e C(3,2) do triangulo ABC?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema é encontrar um ponto que está igualmente distante dos três vértices A(-1,1), B(2,1) e C(3,2) de um triângulo ABC. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente sobre circuncentro, que é o ponto que é equidistante de todos os vértices de um triângulo. Vamos precisar calcular as mediatrizes de dois lados do triângulo e encontrar onde elas se cruzam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser equidistante dos três vértices. Um ponto equidistante de três pontos é aquele que tem a mesma distância para cada um deles. No contexto de um triângulo, esse ponto é chamado de circuncentro e é encontrado na interseção das mediatrizes dos lados do triângulo. As mediatrizes são retas perpendiculares aos lados e que passam pelos seus pontos médios.
Passo 3
Vamos começar escolhendo dois lados do triângulo para encontrar suas mediatrizes. Vou escolher os lados AB e AC.
Lado AB:
- Ponto A: (-1, 1)
- Ponto B: (2, 1)
Lado AC:
- Ponto A: (-1, 1)
- Ponto C: (3, 2)
Passo 4
Vamos encontrar o ponto médio de cada lado.
Ponto médio de AB:
Ponto médio de AC:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as inclinações dos lados AB e AC para determinar as inclinações das suas mediatrizes, que são perpendiculares aos lados.
Inclinação de AB:
Como a inclinação é 0, a linha é horizontal. Portanto, a mediatriz será uma linha vertical. A mediatriz de AB passa pelo ponto médio $ M_{AB} \left( \frac{1}{2}, 1 \right) $, então sua equação é:
Inclinação de AC:
A inclinação da mediatriz será o negativo do inverso de $ m_{AC} $:
Usando o ponto médio $ M_{AC} (1, \frac{3}{2}) $, podemos escrever a equação da mediatriz de AC:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o ponto de interseção das duas mediatrizes, que será o circuncentro.
Temos:
Substituindo na equação da mediatriz de AC:
Resposta
O ponto equidistante dos vértices A(-1,1), B(2,1) e C(3,2) do triângulo ABC é $ \left( \frac{1}{2}, \frac{7}{2} \right) $.