Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional. sumk=0^infty(-1)^k 3^k(k+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos saber se essa convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries e entender um pouquinho sobre cada método que vamos aplicar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa que a gente ignora o sinal alternante (-1)^k e analisa a série dos valores absolutos: . Se essa série convergir, então a série original também converge absolutamente.

Passo 3

Agora, para analisar a série , percebemos que os termos da série são semelhantes aos da série exponencial . Sabemos que a série exponencial converge para qualquer valor de x. Como , e diminui conforme k aumenta, a série também converge.

Passo 4

Com a s��rie dos valores absolutos convergindo, concluímos que a série original converge absolutamente. Isso significa que, não importando o sinal alternante, a soma dos termos positivos converge, garantindo a convergência total da série.

Resposta

A série converge absolutamente.

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