Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos saber se essa convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries e entender um pouquinho sobre cada método que vamos aplicar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa que a gente ignora o sinal alternante (-1)^k e analisa a série dos valores absolutos:
. Se essa série convergir, então a série original também converge absolutamente.
Passo 3
Agora, para analisar a série
, percebemos que os termos da série são semelhantes aos da série exponencial
. Sabemos que a série exponencial converge para qualquer valor de x. Como
, e
diminui conforme k aumenta, a série
também converge.
Passo 4
Com a s��rie dos valores absolutos convergindo, concluímos que a série original
converge absolutamente. Isso significa que, não importando o sinal alternante, a soma dos termos positivos converge, garantindo a convergência total da série.
Resposta
A série
converge absolutamente.