Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. A série que temos é . Precisamos descobrir se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também temos que verificar se essa convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Sabemos que alterna entre 1 e -1 conforme aumenta. Então, podemos reescrever a série assim:
Agora, a série está em uma forma que mostra claramente que é uma série alternada.
Passo 3
Para determinar se essa série alternada converge, vamos aplicar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada da forma converge se três condições forem atendidas:
Positividade: Os termos são positivos.
Decrescimento: A sequência é decrescente.
Limite: .
Passo 4
Vamos verificar essas três condições para a nossa série, onde :
Positividade: é sempre positivo para todo .
Decrescimento: Conforme aumenta, aumenta, então diminui. Portanto, a sequência é decrescente.
Limite: .
Como todas as condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, vamos considerar a série dos valores absolutos:
Essa é uma série p com . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . No nosso caso, , então essa série diverge.