Determinar se as séries convergem ou divergem e, se convergirem, determinar se a convergência á absoluta ou condicional. sumk=2^infty cos k piraizk

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. A série que temos é . Precisamos descobrir se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também temos que verificar se essa convergência é absoluta ou condicional. Para resolver isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Série Alternada e o Teste da Série p.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Sabemos que sumk=2^infty (-1)^kraizk alterna entre 1 e -1 conforme aumenta. Então, podemos reescrever a série assim:
Agora, a série está em uma forma que mostra claramente que é uma série alternada.

Passo 3

Para determinar se essa série alternada converge, vamos aplicar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que uma série alternada da forma converge se três condições forem atendidas:
  1. Positividade: Os termos são positivos.
  2. Decrescimento: A sequência é decrescente.
  3. Limite: .

Passo 4

Vamos verificar essas três condições para a nossa série, onde :
  1. Positividade: é sempre positivo para todo .
  2. Decrescimento: Conforme aumenta, aumenta, então diminui. Portanto, a sequência é decrescente.
  3. Limite: .
Como todas as condições são satisfeitas, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso, vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumk=2^infty | (-1)^kraizk | = sumk=2^infty 1raizk
Essa é uma série p com . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . No nosso caso, , então essa série diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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