Verifique se as séries convergem absolutamente ou condicionamente e, depois, verifique e compare os erros cometidos ao se aproximar a soma com os quatro primeiros termos. sumk=0^infty(-1)^k 12^k

Passo 1

Então, galera, o que temos aqui é uma série infinita: sumk=0^infty(-1)^k 12^k. Nosso objetivo é verificar se essa série converge absolutamente ou condicionalmente. Depois, vamos também ver qual erro cometemos ao aproximar a soma usando apenas os quatro primeiros termos dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir absolutamente ou condicionalmente. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, então ela converge condicionalmente.

Passo 3

Vamos testar a convergência absoluta da nossa série. Para isso, pegamos o valor absoluto de cada termo:
sumk=0^infty | (-1)^k 12^k | = sumk=0^infty 12^k
Essa é uma série geométrica com razão 12.

Passo 4

Sabemos que uma série geométrica sumk=0^infty r^k converge se |r| < 1. No nosso caso, r = 12, que é menor que 1. Portanto, a série dos valores absolutos converge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original sumk=0^infty(-1)^k 12^k converge absolutamente.

Passo 6

Agora, vamos aproximar a soma da série usando os quatro primeiros termos. Vamos calcular os termos para k=0, 1, 2, 3:
a0 &= (-1)^0 12^0 = 1 a1 &= (-1)^1 12^1 = -12 a2 &= (-1)^2 12^2 = 14 a3 &= (-1)^3 12^3 = -18

Passo 7

Somando esses quatro termos, temos:
S4 = 1 - 12 + 14 - 18 = 88 - 48 + 28 - 18 = 58

Passo 8

Para encontrar a soma exata da série infinita, sabemos que uma série geométrica infinita com razão r é dada por:
sumk=0^infty r^k = 11 - r
No nosso caso, como a série original é alternada, mas converge absolutamente, podemos usar a soma da série geométrica:
sumk=0^infty(-1)^k 12^k = 11 - (-12) = 11 + 12 = 23

Passo 9

Agora, vamos comparar o erro cometido na aproximação com os quatro termos:
Erro = | Soma Exata - S4 | = | 23 - 58 | = | 1624 - 1524 | = 124

Resposta

A série sumk=0^infty(-1)^k 12^k converge absolutamente. Ao aproximar a soma com os quatro primeiros termos, o erro cometido é de 124.

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