Resolver o problema de valor inicial:
y' - x^2 = x, y(0) = 1
Resp. y = (x^3)/3 + (x^2)/2 + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial para resolver, que é uma equação diferencial. Especificamente, a equação é:
Aqui, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e integração para encontrar a solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . A equação dada é:
Adicionando em ambos os lados para isolar :

Passo 3

Agora, temos uma equação que relaciona a derivada de em relação a com uma expressão em . Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados em relação a .
Lembrando que é a derivada de , então a integral de em relação a é simplesmente :
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, precisamos determinar o valor da constante usando a condição inicial dada, que é . Substituímos e na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

Exercícios relacionados

Expresse n2 em termos de N.
Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições dadas.
d y/d x = x^2 y^4 ; y(1) = 1
d/y = e^(x+y)
Verifique que cosh(t) é uma função par enquanto senh(t) é uma função ímpar.