Determinar o vetor u tal que |u|=2, o ângulo entre u e v = (1,-1,0) é 45 e u é ortogonal a w=(1,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor $ \mathbf{u} $ que tem algumas características específicas:
  1. O módulo (ou comprimento) de $ \mathbf{u} $ é 2, ou seja, $ |\mathbf{u}| = 2 $.
  2. O ângulo entre $ \mathbf{u} $ e o vetor $ \mathbf{v} = (1, -1, 0) $ é de 45 graus.
  3. $ \mathbf{u} $ é ortogonal ao vetor $ \mathbf{w} = (1, 1, 0) $, ou seja, o produto interno entre eles é zero.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produto interno, módulo de vetor e ângulo entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno entre dois vetores $ \mathbf{a} $ e $ \mathbf{b} $ é dado por:
a
E o módulo de um vetor $ \mathbf{a} $ é:
b
Também, a relação entre o ângulo $ \theta $ e o produto interno é:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Passo 3

Vamos aplicar a condição do ângulo de 45 graus entre $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $. Primeiro, calculamos o módulo de $ \mathbf{v} $:
u
Sabendo que $ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, a equação do produto interno fica:
v
Então, temos:
v

Passo 4

Agora, vamos considerar que $ \mathbf{u} $ é ortogonal a $ \mathbf{w} = (1, 1, 0) $. Isso significa que o produto interno entre $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{w} $ é zero:
u
Seja $ \mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3) $, então temos:
w = (1, 1, 0)

Passo 5

Vamos agora usar a condição $ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 2 $. Substituindo $ \mathbf{v} = (1, -1, 0) $ e $ \mathbf{u} = (u_1, -u_1, u_3) $:
u cdot v = 2
Então, $ u_2 = -u_1 = -1 $.

Passo 6

Agora, precisamos garantir que o módulo de $ \mathbf{u} $ seja 2. Temos $ \mathbf{u} = (1, -1, u_3) $, então:
u
Elevando ambos os lados ao quadrado:
u = (1, -1, u3)

Resposta

O vetor $ \mathbf{u} $ que satisfaz todas as condições é:
u

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