Determine a família de funções representada por ∫ e 2 x c o s ( 2 x ) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a família de funções que representa a integral de $ e^{2x} \cos(2x) , dx $. Isso está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é útil quando a integral é o produto de duas funções que podemos identificar como $ u $ e $ dv $. A fórmula é:
u
Então, para a nossa integral $ \int e^{2x} \cos(2x) , dx $, vamos escolher:
  • $ u = e^{2x} $ (facil de derivar)
  • $ dv = \cos(2x) , dx $ (fácil de integrar)

Passo 3

Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
du
v

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^2x cos(2x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= e^2x cdot 12 sin(2x) - integral 12 sin(2x) cdot 2e^2x , dx
Simplificando:
= 12 e^2x sin(2x) - integral e^2x sin(2x) , dx
Agora, precisamos resolver a nova integral $ \int e^{2x} \sin(2x) , dx $. Vamos aplicar integração por partes de novo, com:
  • $ u = e^{2x} $
  • $ dv = \sin(2x) , dx $
Calculando $ du $ e $ v $:
integral e^2x sin(2x) , dx
u = e^2x
Aplicando novamente:
dv = sin(2x) , dx
du
Simplificando:
v
Agora, observe que temos a mesma integral que começamos: $ \int e^{2x} \cos(2x) , dx $. Vamos chamar essa integral de $ I $:
du = 2e^2x , dx
Simplificando:
v = -12 cos(2x)
Somando $ I $ dos dois lados:
integral e^2x sin(2x) , dx = u , v - integral v , du
Dividindo ambos os lados por 2:
= e^2x cdot (-12cos(2x)) - integral (-12cos(2x)) cdot 2e^2x , dx

Resposta

A família de funções que representa a integral é:
integral e^2x cos(2x) , dx = e^2x4 ( sin(2x) + cos(2x) ) + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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