Determine a família de funções representada por ∫ e 2 x c o s ( 2 x ) d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a família de funções que representa a integral de $ e^{2x} \cos(2x) , dx $. Isso está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto para derivadas e é útil quando a integral é o produto de duas funções que podemos identificar como $ u $ e $ dv $. A fórmula é:
Então, para a nossa integral $ \int e^{2x} \cos(2x) , dx $, vamos escolher:
- $ u = e^{2x} $ (facil de derivar)
- $ dv = \cos(2x) , dx $ (fácil de integrar)
Passo 3
Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Agora, precisamos resolver a nova integral $ \int e^{2x} \sin(2x) , dx $. Vamos aplicar integração por partes de novo, com:
- $ u = e^{2x} $
- $ dv = \sin(2x) , dx $
Calculando $ du $ e $ v $:
Aplicando novamente:
Simplificando:
Agora, observe que temos a mesma integral que começamos: $ \int e^{2x} \cos(2x) , dx $. Vamos chamar essa integral de $ I $:
Simplificando:
Somando $ I $ dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
A família de funções que representa a integral é:
Onde $ C $ é a constante de integração.