Determinar o vetor v do espaço sabendo que |v|=5, v é ortogonal ao eixo v*w=6 e w+2j
Passo 1
Vamos resolver um exercício de vetores. A questão pede para determinar o vetor v no espaço sabendo que a norma de v é 5, ou seja, |v| = 5. Além disso, v é ortogonal a dois vetores: um dado por v × w = 6 e outro dado por w + 2j. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de produto vetorial, ortogonalidade e norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando dizemos que v é ortogonal a um vetor, isso significa que o produto interno entre esses vetores é zero. Ou seja, v · u = 0, onde u é o vetor ao qual v é ortogonal.
Passo 3
A condição v × w = 6 implica que o produto vetorial entre v e w resulta em um vetor com magnitude 6. O produto vetorial também nos diz que v é ortogonal a w. Então, já temos que v é ortogonal a w.
Passo 4
Além disso, a condição v é ortogonal a w + 2j significa que o produto interno entre v e (w + 2j) é zero:
v · (w + 2j) = 0
Passo 5
Vamos considerar w como um vetor qualquer no espaço. Para simplificar, podemos assumir que w = w₁i + w₂j + w₃k. Então, v também pode ser representado como v = v₁i + v₂j + v₃k.
Passo 6
A partir da condição v × w = 6, sabemos que o produto vetorial de v e w tem magnitude 6. A fórmula para o produto vetorial é:
|v × w| = |v| |w| sinθ
Onde θ é o ângulo entre v e w. Como v é ortogonal a w, sinθ = 1, então:
|v × w| = |v| |w| = 5 |w| = 6
Passo 7
Resolvendo para |w|:
5 |w| = 6 ⇒ |w| = 6 / 5 = 1,2
Passo 8
Agora, usando a condição de ortogonalidade com w + 2j, temos:
v · (w + 2j) = 0
Substituindo v e w:
v₁w₁ + v₂w₂ + v₃w₃ + 2v₂ = 0
Passo 9
Como v é ortogonal a w, temos:
v · w = v₁w₁ + v₂w₂ + v₃w₃ = 0
Passo 10
Substituindo na equação anterior:
0 + 2v₂ = 0 ⇒ v₂ = 0
Passo 11
Sabemos que |v| = 5, então:
v₁² + v₂² + v₃² = 25
Como v₂ = 0:
v₁² + v₃² = 25
Passo 12
Podemos escolher valores para v₁ e v₃ que satisfaçam essa equação. Por exemplo, se v₁ = 3 e v₃ = 4:
3² + 4² = 9 + 16 = 25
Passo 13
Portanto, um possível vetor v que satisfaz todas as condições é:
v = 3i + 0j + 4k
Resposta
O vetor v é dado por: