Determine para alpha=10 %, n=35 e sigma=10 os valores de barx que levariam a rejeitar H0: mu=50 (usar teste bilateral).
Calcule beta se H1: mu=53.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Estamos lidando com teste de hipóteses para a média de uma população. O enunciado nos dá:
  • Nível de significância ( alpha) de 10%
  • Tamanho da amostra ( n) de 35
  • Desvio padrão da população ( sigma) de 10
Precisamos:
  1. Determinar os valores de barx que fariam a gente rejeitar a hipótese nula H0: mu=50 em um teste bilateral.
  2. Calcular o erro do tipo II ( beta) assumindo que a verdadeira média seja H1: mu=53.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um teste bilateral. Nesse tipo de teste, estamos interessados em verificar se a média é diferente de 50, seja maior ou menor. Ou seja, estamos testando H0: mu=50 contra H1: mu neq 50.

Passo 3

Para encontrar os valores críticos de barx que nos levam a rejeitar H0, precisamos determinar os valores que estão nas extremidades das distribuições, correspondentes ao nível de significância de 10%. Como é bilateral, distribuímos a alpha igualmente nos dois lados da distribuição.
Então, cada lado terá alpha/2 = 5%.

Passo 4

Vamos padronizar a distribuição utilizando a fórmula do escore z:
z = barx - musigma / raizn
Onde:
  • barx é a média amostral
  • mu é a média assumida na hipótese nula (50)
  • sigma é o desvio padrão da população (10)
  • n é o tamanho da amostra (35)

Passo 5

Usando uma tabela z ou uma calculadora, encontramos os valores críticos correspondentes a z = pm zalpha/2. Para alpha/2 = 5%, os valores z críticos são aproximadamente -1.645 e 1.645.

Passo 6

Agora, vamos converter esses valores z de volta para barx usando a fórmula inversa:
barx = mu + z ( sigmaraizn )
Substituindo os valores:
Para z = -1.645:
barxinferior = 50 + (-1.645) ( 10raiz35 ) approx 50 - 1.645 times 1.690 approx 50 - 2.779 approx 47.221
Para z = 1.645:
barxsuperior = 50 + 1.645 ( 10raiz35 ) approx 50 + 1.645 times 1.690 approx 50 + 2.779 approx 52.779

Passo 7

Então, os valores de barx que levariam a rejeitar H0 são menores que aproximadamente 47.221 ou maiores que aproximadamente 52.779.

Passo 8

Agora, vamos calcular o erro do tipo II ( beta), que é a probabilidade de não rejeitar H0 quando a verdadeira média é mu = 53.
Primeiro, determinamos os limites de aceitação com mu = 50 (que já calculamos como 47.221 e 52.779). Agora, queremos a probabilidade de barx estar entre esses dois valores quando a verdadeira média é 53.

Passo 9

Usamos novamente a fórmula do z, mas agora com mu = 53:
Para barx = 47.221:
z = 47.221 - 5310 / raiz35 approx -5.7791.690 approx -3.420
Para barx = 52.779:
z = 52.779 - 5310 / raiz35 approx -0.2211.690 approx -0.131

Passo 10

Agora, queremos a probabilidade de z estar entre -3.420 e -0.131. Consultando a tabela z:
  • P(z < -0.131) approx 0.4471
  • P(z < -3.420) approx 0.0003
Então, P(-3.420 < z < -0.131) = 0.4471 - 0.0003 = 0.4468

Resposta

Os valores de barx que levam a rejeitar H0: mu=50 são menores que aproximadamente 47.221 ou maiores que aproximadamente 52.779. Além disso, o erro do tipo II ( beta) para H1: mu=53 é de aproximadamente 44.68%.

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