Determine o ângulo interno formado pelos vetores
undersetA(2,1,-1) undersetB(1,-1,-2)
Alternativas
A |l|c| hline A & $30^circ$ hline B & $45^circ$ hline $C$ & $60^circ$ hline D & $90^circ$ hline E & $180^circ$ hline
B
D
E

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o ângulo interno formado pelos vetores e . Esse problema está relacionado ao conteúdo de geometria vetorial, especificamente ao cálculo do ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar o produto escalar e as normas (ou módulos) dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores A cdot B = ax bx + ay by + az bz e A cdot B = (2)(1) + (1)(-1) + (-1)(-2) = 2 - 1 + 2 = 3 . O produto escalar é definido como:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular as normas dos vetores |V| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 e |A| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 . A norma de um vetor |B| = raiz1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 é dada por:
Calculando para :
E para :

Passo 4

Com o produto escalar e as normas calculados, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo cos(theta) = A cdot B|A| cdot |B| entre os vetores:
cos(theta) = 3raiz6 cdot raiz6 = 36 = 0,5
Substituindo os valores:

Passo 5

Para encontrar o ângulo theta = arccos(0,5) , usamos a função arco cosseno:
Sabemos que .

Resposta

O ângulo interno formado pelos vetores é . Alternativa C.

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