Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações r1 {x=9+t y:4+3t z:12+8t r2 {x=5+6t y=4-2t z=-1+t
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o ângulo entre duas retas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e produto escalar de vetores. Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta e depois calcular o ângulo entre eles usando essas ferramentas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas $ r_1 $ e $ r_2 $. Nas equações paramétricas das retas, os coeficientes de $ t $ representam os componentes desses vetores.
Para a reta $ r_1 $:
O vetor diretor de $ r_1 $ é $ \vec{u} = r2 $.
Para a reta $ r_2 $:
t
O vetor diretor de $ r_2 $ é $ \vec{v} = r1 $.
Passo 3
Agora que temos os vetores diretores $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $, vamos usar o produto escalar para encontrar o ângulo entre eles. A fórmula para o cosseno do ângulo $ \theta $ entre dois vetores é:
u
Onde:
$ \vec{u} \cdot \vec{v} $ é o produto escalar dos vetores.
$ |\vec{u}| $ e $ |\vec{v}| $ são as normas (ou módulos) dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar $ \vec{u} \cdot \vec{v} $:
u cdot v
Passo 5
Agora, vamos calcular as normas dos vetores $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $:
u
v
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 8raiz74 times raiz41 = 8raiz3034
Vamos calcular o valor numérico:
raiz3034 approx 55.11
Então:
cos(theta) approx 855.11 approx 0.1455
Passo 7
Agora, para encontrar o ângulo $ \theta $, usamos a função arco cosseno:
theta
Resposta
O ângulo entre as retas $ r_1 $ e $ r_2 $ é aproximadamente 81,7 graus.