Determine o angulo entre os seguintes vetores A=(-4,3,0) e B=(2,1,6).

Passo 1

Beleza, temos um exercício onde precisamos descobrir qual é o ângulo entre dois vetores, A=(-4,3,0) e B=(2,1,6). Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como o produto escalar e as magnitudes dos vetores, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar o ângulo entre dois vetores. A fórmula que usamos é baseada no produto escalar (ou produto interno) dos vetores:
A cdot B = |A| cdot |B| cdot cos(theta)
Onde:
  • A cdot B é o produto escalar dos vetores.
  • |A| e |B| são as magnitudes (ou tamanhos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre eles.
Nosso objetivo é encontrar theta.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar A cdot B. Para isso, multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos:
A cdot B = (-4) times 2 + 3 times 1 + 0 times 6
Calculando cada termo:
-4 times 2 = -8
3 times 1 = 3
0 times 6 = 0
Somando tudo:
-8 + 3 + 0 = -5
Então, A cdot B = -5.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores A e B. A magnitude de um vetor V=(vx, vy, vz) é dada por:
|V| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Calculando para A=(-4,3,0):
|A| = raiz(-4)^2 + 3^2 + 0^2 = raiz16 + 9 + 0 = raiz25 = 5
E para B=(2,1,6):
|B| = raiz2^2 + 1^2 + 6^2 = raiz4 + 1 + 36 = raiz41 approx 6,403

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, vamos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo:
cos(theta) = A cdot B|A| cdot |B| = -55 times 6,403 approx -532,015 approx -0,156
Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(-0,156) approx 99°

Resposta

O ângulo entre os vetores A e B é aproximadamente 99°.

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