Determine a área da superfície da parte do plano 5 x+3 y-z+6=0 que está acima do retângulo [1,4] times[2,6].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano definido pela equação e precisamos encontrar a área da parte desse plano que está acima de um retângulo no plano xy, onde vai de 1 a 4 e vai de 2 a 6. Vamos usar conceitos de cálculo para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos rearrumar a equação do plano para expressar z = 5x + 3y + 6 em função de e . Isso vai facilitar o cálculo das derivadas parciais, que são necessárias para encontrar a área da superfície.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = 5 partial zpartial y = 3 em relação a e . Essas derivadas nos dizem como muda conforme e mudam, respectivamente.

Passo 4

A fórmula para calcular a área de uma superfície Área = integral duplaR raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy sobre uma região raiz1 + (5)^2 + (3)^2 = raiz1 + 25 + 9 = raiz35 no plano xy é:
Á
Vamos substituir as derivadas que encontramos nessa fórmula.

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da região Área do retângulo = (4 - 1) times (6 - 2) = 3 times 4 = 12 no plano xy, que é um retângulo com de 1 a 4 e de 2 a 6. A área de um retângulo é dada por:
Áâ

Passo 6

Finalmente, multiplicamos a constante resultante da raiz ( Área da superfície = raiz35 times 12 = 12raiz35 ) pela área do retângulo para obter a área da superfície do plano sobre essa região.
Áí

Resposta

A área da superfície da parte do plano acima do retângulo é unidades quadradas.

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