Determine a área da superfície da parte do plano
que está acima do retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano definido pela equação
e precisamos encontrar a área da parte desse plano que está acima de um retângulo no plano xy, onde
vai de 1 a 4 e
vai de 2 a 6. Vamos usar conceitos de cálculo para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos rearrumar a equação do plano para expressar
em função de
e
. Isso vai facilitar o cálculo das derivadas parciais, que são necessárias para encontrar a área da superfície.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas nos dizem como
muda conforme
e
mudam, respectivamente.
Passo 4
A fórmula para calcular a área de uma superfície
sobre uma região
no plano xy é:
Vamos substituir as derivadas que encontramos nessa fórmula.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da região
no plano xy, que é um retângulo com
de 1 a 4 e
de 2 a 6. A área de um retângulo é dada por:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos a constante resultante da raiz (
) pela área do retângulo para obter a área da superfície do plano sobre essa região.
Resposta
A área da superfície da parte do plano acima do retângulo é
unidades quadradas.
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:
(d)
(d)
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.
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