Calcule Lf(t) :
(d) f(t)=t cos t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a Transformada de Laplace de . Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da Transformada de Laplace e algumas propriedades específicas que envolvem funções multiplicadas por .

Passo 2

Primeiro, lembraremos como é definida a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é dada por:
Isso basicamente transforma uma função do tempo para uma função no domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais.

Passo 3

Agora, para calcular Lt f(t) = -dds Lf(t) , vamos usar uma propriedade importante da Transformada de Laplace que envolve a multiplicação por . A propriedade diz que:
Ou seja, a Transformada de Laplace de é igual à derivada negativa da Transformada de Laplace de em relação a .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar Lcos at = ss^2 + a^2 . Sabemos que:
Lcos t = ss^2 + 1
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 3:
Lt cos t = -dds ( ss^2 + 1 )
Vamos calcular essa derivada.

Passo 6

Calculando a derivada:
dds ( ss^2 + 1 ) = (1)(s^2 + 1) - s(2s)(s^2 + 1)^2 = s^2 + 1 - 2s^2(s^2 + 1)^2 = 1 - s^2(s^2 + 1)^2

Passo 7

Aplicando o sinal negativo da propriedade:
Lt cos t = - ( 1 - s^2(s^2 + 1)^2 ) = s^2 - 1(s^2 + 1)^2

Resposta

Portanto, a Transformada de Laplace de Lt cos t = s^2 - 1(s^2 + 1)^2 é:

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