Determine o volume dos sólido limitado pela superfície e pelos planos .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido limitado pela superfície e pelos planos , , , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para encontrar volumes quando temos uma função que descreve a altura em cada ponto de uma região no plano . Vamos precisar configurar e calcular uma integral dupla sobre os limites dados.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que temos. A superfície nos dá a altura para cada ponto na região que estamos considerando. Os planos , , , e definem a base sobre a qual vamos calcular o volume. Essencialmente, vamos integrar a função sobre o retângulo no plano definido por de 0 a 2 e de 0 a .
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla que representa o volume. A fórmula geral para o volume é:
Onde:
e são os limites de
e são os limites de
é a função que descreve a altura
No nosso caso:
,
,
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirá-lo da integral:
Sabemos que a integral de em relação a é , então:
Calculando os valores das tangentes:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Esta é uma integral simples em relação a . Integrando, temos: