Determine o volume dos sólido limitado pela superfície z=x sec ^2 y e pelos planos z=0, x=0, x=2, y=0 e y=pi / 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido limitado pela superfície e pelos planos , , , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para encontrar volumes quando temos uma função que descreve a altura em cada ponto de uma região no plano . Vamos precisar configurar e calcular uma integral dupla sobre os limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que temos. A superfície nos dá a altura para cada ponto na região que estamos considerando. Os planos , , , e definem a base sobre a qual vamos calcular o volume. Essencialmente, vamos integrar a função sobre o retângulo no plano definido por de 0 a 2 e de 0 a .

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla que representa o volume. A fórmula geral para o volume V = integrala^b integralc^d z , dy , dx é:
V = integral0^2 integral0^pi4 x sec^2 y , dy , dx
Onde:
  • e são os limites de
  • e são os limites de
  • é a função que descreve a altura
No nosso caso:
  • ,
  • ,
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^pi4 x sec^2 y , dy :
x integral0^pi4 sec^2 y , dy
Aqui, x [ tan y ]0^pi4 = x ( tan ( pi4 ) - tan (0) ) é uma constante em relação a tan ( pi4 ) = 1 e tan (0) = 0 , então podemos tirá-lo da integral:
x (1 - 0) = x
Sabemos que a integral de em relação a é , então:
Calculando os valores das tangentes:
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
V = integral0^2 x , dx
Esta é uma integral simples em relação a 12 x^2 |0^2 = 12 (2)^2 - 12 (0)^2 = 12 times 4 - 0 = 2 . Integrando, temos:

Resposta

O volume do sólido é igual a unidades cúbicas.

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