Uma partícula se move ao longo de uma reta com função posição
, onde
é medido em metros e
em segundos.
a) Encontre a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes
e
.
b) Em que instante a partícula está instantaneamente em repouso?
c) Em que intervalo de tempo a partícula está se movendo para a direita? E para a esquerda?
a) Encontre a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes
b) Em que instante a partícula está instantaneamente em repouso?
c) Em que intervalo de tempo a partícula está se movendo para a direita? E para a esquerda?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento retilíneo! A partícula se move ao longo de uma reta com a função posição $ s(t) = t^{2} - 4t + 3 $, onde $ s $ está em metros e $ t $ em segundos. Vamos precisar usar conceitos de velocidade e aceleração, que são derivadas da função posição em relação ao tempo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ s(t) $:
Agora que temos a função da velocidade, podemos calcular nos instantes $ t = 1 $ e $ t = 3 $:
Para $ t = 1 $:
Para $ t = 3 $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
Isso significa que a aceleração é constante e igual a $ 2 m/s^{2} $ para qualquer instante de tempo.
Passo 4
Parte b) Queremos descobrir em que instante a partícula está instantaneamente em repouso, ou seja, quando a velocidade é zero. Vamos igualar $ v(t) $ a zero e resolver para $ t $:
Então, a partícula está em repouso no instante $ t = 2 $ segundos.
Passo 5
Parte c) Precisamos determinar em quais intervalos de tempo a partícula está se movendo para a direita (velocidade positiva) ou para a esquerda (velocidade negativa).
Analisando a função da velocidade $ v(t) = 2t - 4 $:
- Quando $ v(t) > 0 $:
Portanto, a partícula está se movendo para a direita quando $ t > 2 $ segundos.
- Quando $ v(t) < 0 $:
Assim, a partícula está se movendo para a esquerda quando $ t < 2 $ segundos.
Resposta
a) Velocidade nos instantes:
- $ t = 1 $ s: $ v(1) = -2 $ m/s
- $ t = 3 $ s: $ v(3) = 2 $ m/s
Aceleração: $ a(t) = 2 $ m/s²
b) A partícula está em repouso no instante $ t = 2 $ segundos.
c) A partícula está se movendo:
- Para a direita quando $ t > 2 $ segundos
- Para a esquerda quando $ t < 2 $ segundos