Uma partícula se move ao longo de uma reta com função posição s(t)=t^2-4 t+3, onde s é medido em metros e t em segundos.
a) Encontre a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes t=1 e t=3.
b) Em que instante a partícula está instantaneamente em repouso?
c) Em que intervalo de tempo a partícula está se movendo para a direita? E para a esquerda?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento retilíneo! A partícula se move ao longo de uma reta com a função posição $ s(t) = t^{2} - 4t + 3 $, onde $ s $ está em metros e $ t $ em segundos. Vamos precisar usar conceitos de velocidade e aceleração, que são derivadas da função posição em relação ao tempo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ s(t) $:
s(t)
Agora que temos a função da velocidade, podemos calcular nos instantes $ t = 1 $ e $ t = 3 $:
Para $ t = 1 $:
v(t) = dsdt = ddt(t^2 - 4t + 3) = 2t - 4
Para $ t = 3 $:
t = 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
a(t) = dvdt = ddt(2t - 4) = 2
Isso significa que a aceleração é constante e igual a $ 2 m/s^{2} $ para qualquer instante de tempo.

Passo 4

Parte b) Queremos descobrir em que instante a partícula está instantaneamente em repouso, ou seja, quando a velocidade é zero. Vamos igualar $ v(t) $ a zero e resolver para $ t $:
v(t)
t
0 = 2t - 4
Então, a partícula está em repouso no instante $ t = 2 $ segundos.

Passo 5

Parte c) Precisamos determinar em quais intervalos de tempo a partícula está se movendo para a direita (velocidade positiva) ou para a esquerda (velocidade negativa).
Analisando a função da velocidade $ v(t) = 2t - 4 $:
  • Quando $ v(t) > 0 $:
v(t) = 2t - 4
Portanto, a partícula está se movendo para a direita quando $ t > 2 $ segundos.
  • Quando $ v(t) < 0 $:
v(t) > 0
Assim, a partícula está se movendo para a esquerda quando $ t < 2 $ segundos.

Resposta

a) Velocidade nos instantes:
  • $ t = 1 $ s: $ v(1) = -2 $ m/s
  • $ t = 3 $ s: $ v(3) = 2 $ m/s
Aceleração: $ a(t) = 2 $ m/s²
b) A partícula está em repouso no instante $ t = 2 $ segundos.
c) A partícula está se movendo:
  • Para a direita quando $ t > 2 $ segundos
  • Para a esquerda quando $ t < 2 $ segundos

Exercícios relacionados