Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas (quando existirem) das funções abaixo. f(x) = x^2 / (x^2 + 9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas da função . Isso faz parte do conteúdo de funções racionais na matemática. Para resolver, precisamos entender o comportamento da função quando tende a certos valores e identificar se ela se aproxima de linhas específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração se anula, pois a função tende ao infinito nessas áreas. Vamos igualar o denominador a zero:
Resolvendo:
Como não existe número real cujo quadrado seja negativo, não há valores de que tornem o denominador zero. Portanto, não existem assíntotas verticais para essa função.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o limite da função quando tende a mais ou menos infinito:
Dividindo numerador e denominador por :
Isso significa que a fun��ão se aproxima da linha reta quando vai para infinito positivo ou negativo. Portanto, há uma assíntota horizontal em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se existe alguma assíntota oblíqua. As assíntotas oblíquas aparecem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador. No nosso caso, ambos têm grau 2, então a função não possui assíntas oblíquas.

Resposta

A função não possui assíntotas verticais nem oblíquas, e possui uma assíntota horizontal em .

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