Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
(1) Determine o domínio da função.
(2) Analise o crescimento da função (lembre-se de destacar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de f nestes pontos.
(3) Analise a concavidade (lembre-se de destacar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de f nestes pontos).
(4) Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, quando existirem.
(5) Determine, se possível, as raízes de f.
f(x) = x + 2/x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função . Isso envolve várias etapas: descobrir o domínio, analisar onde a função cresce ou decresce, ver como a concavidade se comporta, encontrar as assíntotas e identificar as raízes, se possível. Para tudo isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e limites. Vamos passo a passo!

Passo 2

Determinar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , vemos que temos uma divisão por . Isso significa que não pode ser zero, porque não podemos dividir por zero. Portanto, o domínio é:
Ou seja, todos os números reais exceto .

Passo 3

Analisar o crescimento da função
Para entender onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a primeira derivada de :
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde :
Então, temos um ponto crítico em .
Para classificar esse ponto, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois desse ponto:
  • Para , digamos :
    (negativo, função está decrescente)
  • Para , digamos :
    (positivo, função está crescente)
Portanto, em , a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local. Calculando o valor de nesse ponto:

Passo 4

Analisar a concavidade
Para entender a concavidade da função, precisamos da segunda derivada:
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são onde ou onde a concavidade muda. Observando , vemos que nunca é zero, mas está sempre positiva, já que é sempre positivo para .
Isso significa que a função é sempre côncava para cima no seu domínio, sem pontos de inflexão.

Passo 5

Determinar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas
Assíntotas Verticais:
As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida e o limite tende ao infinito. No nosso caso, não está no domínio. Vamos ver o comportamento quando se aproxima de 0:
Então, há uma assíntota vertical em .
Assíntotas Horizontais ou Oblíquas:
Vamos analisar o limite de quando tende ao infinito e a menos infinito:
Como os limites tendem ao infinito, não há assíntotas horizontais. Também não há assíntotas oblíquas, pois a função cresce sem se aproximar de uma linha reta específica.

Passo 6

Determinar as raízes de
As raízes da função são os valores de para os quais :
Então, a função tem uma raiz em .

Resposta

Resumindo, o gráfico da função possui:
  • Domínio: Todos os números reais exceto .
  • Crescimento: A função é decrescente para e crescente para , com um mínimo local em .
  • Concavidade: Sempre côncava para cima, sem pontos de inflexão.
  • Assíntotas: Uma assíntota vertical em e não há assíntotas horizontais ou oblíquas.
  • Raízes: A função cruza o eixo em .
Com essas características, dá para esboçar o gráfico mostrando o comportamento da função em relação ao domínio, crescimento, concavidade, assíntotas e pontos onde cruza os eixos.

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