Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo, seguindo as seguintes etapas:
(1) Determine o domínio da função.
(2) Analise o crescimento da função (lembre-se de destacar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de
nestes pontos.
(3) Analise a concavidade (lembre-se de destacar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de
nestes pontos).
(4) Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, quando existirem.
(5) Determine, se possível, as raízes de
.
(1) Determine o domínio da função.
(2) Analise o crescimento da função (lembre-se de destacar os pontos críticos, classificá-los e calcular o valor de
(3) Analise a concavidade (lembre-se de destacar os pontos de inflexão, classificá-los e calcular o valor de
(4) Determine as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, quando existirem.
(5) Determine, se possível, as raízes de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos o gráfico da função
. Isso envolve várias etapas: descobrir o domínio, analisar onde a função cresce ou decresce, ver como a concavidade se comporta, encontrar as assíntotas e identificar as raízes, se possível. Para tudo isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e limites. Vamos passo a passo!
Passo 2
Determinar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando para
, vemos que temos uma divisão por
. Isso significa que
não pode ser zero, porque não podemos dividir por zero. Portanto, o domínio é:
Ou seja, todos os números reais exceto
.
Passo 3
Analisar o crescimento da função
Para entender onde a função está crescendo ou decrescendo, precisamos encontrar a primeira derivada de
:
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Para classificar esse ponto, vamos analisar o sinal da derivada antes e depois desse ponto:
-
Para
, digamos : (negativo, função está decrescente) -
Para
, digamos : (positivo, função está crescente)
Portanto, em
, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local. Calculando o valor de
nesse ponto:
Passo 4
Analisar a concavidade
Para entender a concavidade da função, precisamos da segunda derivada:
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são onde
ou onde a concavidade muda. Observando
, vemos que nunca é zero, mas está sempre positiva, já que
é sempre positivo para
.
Isso significa que a função é sempre côncava para cima no seu domínio, sem pontos de inflexão.
Passo 5
Determinar as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas
Assíntotas Verticais:
As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida e o limite tende ao infinito. No nosso caso,
não está no domínio. Vamos ver o comportamento quando
se aproxima de 0:
Então, há uma assíntota vertical em
.
Assíntotas Horizontais ou Oblíquas:
Vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito e a menos infinito:
Como os limites tendem ao infinito, não há assíntotas horizontais. Também não há assíntotas oblíquas, pois a função cresce sem se aproximar de uma linha reta específica.
Passo 6
Determinar as raízes de
As raízes da função são os valores de
para os quais
:
Então, a função tem uma raiz em
.
Resposta
Resumindo, o gráfico da função
possui:
- Domínio: Todos os números reais exceto
. - Crescimento: A função é decrescente para
e crescente para , com um mínimo local em . - Concavidade: Sempre côncava para cima, sem pontos de inflexão.
- Assíntotas: Uma assíntota vertical em
e não há assíntotas horizontais ou oblíquas. - Raízes: A função cruza o eixo
em .
Com essas características, dá para esboçar o gráfico mostrando o comportamento da função em relação ao domínio, crescimento, concavidade, assíntotas e pontos onde cruza os eixos.