Quais transformações sofreu a função f(x) = 1/x, para obtermos g(x) = 1/(2(x+1)) - 1. Esboce o gráfico.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função base e queremos descobrir quais transformações foram aplicadas nela para obtermos a função . Vamos precisar conhecer as transformações básicas de funções, como translação, escala e reflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte dentro da função: . Isso envolve duas transformações na função original .

Passo 3

A expressão x + 1 dentro da função indica uma translação horizontal. Quando adicionamos um número dentro do parênteses com x, isso move o gráfico da função para a esquerda ou direita. No caso de x + 1, o gráfico se desloca 1 unidade para a esquerda.

Passo 4

Agora, o número 2 que está multiplicando representa uma escala horizontal. Multiplicar x por 2 no denominador faz com que o gráfico da função seja “esticado” horizontalmente por um fator de 2.

Passo 5

Em seguida, temos a fração inteira . Isso significa que a função resultante será metade da altura da função original f(x). Ou seja, há uma compressão vertical por um fator de 1/2.

Passo 6

Por último, o “-1” fora da fração indica uma translação vertical. Subtrair 1 de toda a função move o gráfico 1 unidade para baixo.

Passo 7

Resumindo as transformações:
  1. Translação horizontal 1 unidade para a esquerda.
  2. Escala horizontal por um fator de 2.
  3. Compressão vertical por um fator de 1/2.
  4. Translação vertical 1 unidade para baixo.

Passo 8

Agora, vamos esboçar o gráfico. Começamos com o gráfico da função , aplicamos cada uma dessas transformações na ordem descrita e obtemos o gráfico de .

Resposta

As transformações aplicadas na função para obter foram:
  1. Translação horizontal 1 unidade para a esquerda.
  2. Escala horizontal por um fator de 2.
  3. Compressão vertical por um fator de 1/2.
  4. Translação vertical 1 unidade para baixo.
O gráfico resultante de g(x) reflete todas essas transformações aplicadas à função original.

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