Determine os autovalores do sistema linear de equações { 8x-2y=02y+4x=3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares:
8x - 2y = 0 2y + 4x = 3
Nosso objetivo aqui é determinar os autovalores desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de matriz de coeficientes e autovalores (ou valores próprios) de uma matriz. Vamos precisar entender como montar a matriz a partir do sistema e aplicar a fórmula dos autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz de coeficientes do sistema. Observando as equações:
8x - 2y = 0 4x + 2y = 3
A matriz de coeficientes $ A $ é formada pelos números que estão na frente das variáveis $ x $ e $ y $:
A

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Autovalores são valores $ \lambda $ que satisfazem a equação:
lambda
Onde $ I $ é a matriz identidade do mesmo tamanho que $ A $, e $ \det $ representa o determinante da matriz. Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos montar a matriz $ A - \lambda I $:
A - lambda I

Passo 5

Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (8 - lambda)(2 - lambda) - (-2)(4)
Vamos resolver cada parte:
(8 - lambda)(2 - lambda) = 16 - 8lambda - 2lambda + lambda^2 = lambda^2 - 10lambda + 16
(-2)(4) = -8
Então, o determinante fica:
lambda^2 - 10lambda + 16 - (-8) = lambda^2 - 10lambda + 24

Passo 6

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - 10lambda + 24 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot 242 cdot 1 = 10 pm raiz100 - 962 = 10 pm raiz42
raiz4 = 2
Então:
lambda = 10 pm 22
Isso nos dá dois valores:
lambda1 = 10 + 22 = 6 lambda2 = 10 - 22 = 4

Resposta

Os autovalores do sistema são $ \lambda_1 = 6 $ e $ \lambda_2 = 4 $.

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