Determine os autovalores do sistema linear de equações { 8x-2y=02y+4x=3
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares:
Nosso objetivo aqui é determinar os autovalores desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de matriz de coeficientes e autovalores (ou valores próprios) de uma matriz. Vamos precisar entender como montar a matriz a partir do sistema e aplicar a fórmula dos autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz de coeficientes do sistema. Observando as equações:
A matriz de coeficientes $ A $ é formada pelos números que estão na frente das variáveis $ x $ e $ y $:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz. Autovalores são valores $ \lambda $ que satisfazem a equação:
Onde $ I $ é a matriz identidade do mesmo tamanho que $ A $, e $ \det $ representa o determinante da matriz. Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, vamos montar a matriz $ A - \lambda I $:
Passo 5
Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos resolver cada parte:
Então, o determinante fica:
Passo 6
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação quadrática:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Isso nos dá dois valores:
Resposta
Os autovalores do sistema são $ \lambda_1 = 6 $ e $ \lambda_2 = 4 $.