Determine a e b de modo que
f(x) = { x², se x < 1; a x + b, se x ≥ 1 }
seja diferenciável.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo sobre diferenciabilidade de funções. A função dada é definida por partes:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa função ser diferenciável em . Para isso, precisamos garantir que a função seja contínua em e que as derivadas das partes esquerda e direita sejam iguais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais a .
Para , . Então:
Para , . Então:
Para continuidade:
çã

Passo 3

Agora, vamos garantir que a função seja diferenciável em . Isso significa que as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em .
Primeiro, vamos encontrar a derivada de para :
Em :
Agora, a derivada de para :
Para diferenciabilidade:
çã

Resposta

Os valores que tornam a função diferenciável em são:

Exercícios relacionados

h(x) = raiz(x) / f(x), tal que h'(2) = -6.
y = raiz(x) / (x + 1), (x0, y0) = (4, 2/5)
Use a definição de derivada para calcular as funções $f^{\prime}$ e $f^{\prime \prime}$ e seus domínios nos seguintes casos:
$f(x)=\frac{e^{x}}{x^{\frac{3}{2}}}$