Determine
e
de modo que
seja diferenciável.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo sobre diferenciabilidade de funções. A função dada é definida por partes:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem essa função ser diferenciável em
. Para isso, precisamos garantir que a função seja contínua em
e que as derivadas das partes esquerda e direita sejam iguais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais a
.
Para
,
. Então:
Para
,
. Então:
Para continuidade:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a função seja diferenciável em
. Isso significa que as derivadas das duas partes da função devem ser iguais em
.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
para
:
Em
:
Agora, a derivada de
para
:
Para diferenciabilidade:
Resposta
Os valores que tornam a função diferenciável em
são:
Exercícios relacionados
Use a definição de derivada para calcular as funções $f^{\prime}$ e $f^{\prime \prime}$ e seus domínios nos seguintes casos:
$f(x)=\frac{e^{x}}{x^{\frac{3}{2}}}$