y = raiz(x) / (x + 1), (x0, y0) = (4, 2/5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e um ponto específico . Isso significa que queremos analisar essa função no ponto onde e . Para resolver isso, vamos precisar usar a derivada, que nos ajuda a entender como a função está mudando naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é uma técnica para derivar funções que são uma divisão de duas outras funções. A regra do quociente diz que se temos , então a derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
  1. Derivada de :
    Sabemos que . Usando a regra do poder, a derivada é:
  2. Derivada de :
    A derivada de é 1 e a derivada de uma constante é 0, então:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente usando , , e :
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos multiplicar por :
Então, nossa expressão para fica:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:

Passo 7

Agora que temos a derivada geral, vamos calcular no ponto :

Resposta

A derivada da função no ponto é .

Exercícios relacionados

y = 3 x e^x, (x0, y0) = (0, 0)
f(x) = e^x * (x + 1)^2, x0 = 2
h(x) = raiz(x) / f(x), tal que h'(2) = -6.
Determine a e b de modo que
f(x) = { x², se x < 1; a x + b, se x ≥ 1 }
seja diferenciável.