, tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou é
e sabemos que a derivada dessa função em
é
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivada de uma função que é o quociente de duas outras funções. Para resolver isso, a gente vai precisar aplicar a regra do quociente e entender como derivar funções compostas, como a raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a derivada de uma função que é o quociente de duas funções. Se temos
, então a derivada
é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
- Para
, a derivada é:
- Para
, a derivada é simplesmente .
Passo 4
Agora, aplicando a regra do quociente na nossa função
:
Isso pode ser simplificado para:
Ou ainda:
Passo 5
Agora, queremos saber o valor de
que é igual a -6. Vamos substituir
na expressão que encontramos:
Essa equação relaciona
e
. Se tivermos o valor de
, podemos resolver para
. Porém, como não temos
, essa é a forma geral da derivada no ponto
.
Resposta
Aplicando a regra do quociente, a derivada de
em
é:
Essa equação pode ser usada para encontrar
se
for conhecido.
Exercícios relacionados
Determine
e
de modo que
seja diferenciável.
Use a definição de derivada para calcular as funções $f^{\prime}$ e $f^{\prime \prime}$ e seus domínios nos seguintes casos: