Determine: b) o vetor normal e a curvatura de ;

Passo 1

Beleza! Vamos lá: você tem uma função vetorial com . A questão pede para descobrir o vetor normal e a curvatura dessa curva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, produto vetorial e fórmulas de curvatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função vetorial , que nos dá o vetor velocidade . Isso vai nos ajudar a entender como a curva está se movendo.
Vamos derivar cada componente de em relação a :
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada , que nos dá o vetor aceleração:
Calculando as derivadas:

Passo 4

Para encontrar a curvatura , usamos a fórmula:
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Simplificando mais:
Sabendo que :
Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
Simplificando:
Então:
Agora, calculamos a norma de :
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor normal . O vetor normal é perpendicular ao vetor tangente e aponta na direção em que a curva está curvando. Para isso, usamos a fórmula:
Onde é o vetor tangente unitário, dado por:
Agora, derivamos em relação a :
Calculamos a norma de :
Então, o vetor normal é:

Resposta

O vetor normal é e a curvatura é .

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