Determine: b) o vetor normal e a curvatura de
;
Passo 1
Beleza! Vamos lá: você tem uma função vetorial com
. A questão pede para descobrir o vetor normal e a curvatura dessa curva. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais, produto vetorial e fórmulas de curvatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função vetorial
, que nos dá o vetor velocidade
. Isso vai nos ajudar a entender como a curva está se movendo.
Vamos derivar cada componente de
em relação a
:
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
, que nos dá o vetor aceleração:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Para encontrar a curvatura
, usamos a fórmula:
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial
:
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Simplificando mais:
Sabendo que :
Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
Simplificando:
Então:
Agora, calculamos a norma de
:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor normal
. O vetor normal é perpendicular ao vetor tangente e aponta na direção em que a curva está curvando. Para isso, usamos a fórmula:
Onde
é o vetor tangente unitário, dado por:
Agora, derivamos
em relação a
:
Calculamos a norma de
:
Então, o vetor normal é:
Resposta
O vetor normal é e a curvatura é
.
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que passa pelo ponto
, onde
é uma constante positiva.
Boa Prova!
P: B
Boa Prova!
P: B
Determine a solução geral de: