Determine a solução geral de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial de terceira ordem
. Isso envolve entender equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e usar o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular. Vamos precisar resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução específica para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação homogênea associada, que é
. Resolver essa parte vai nos dar a base para construir a solução geral.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, usamos a equação característica. Assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação para encontrar os valores de
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir ambos os lados por
(já que
nunca é zero):
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação característica
. Fatorando, temos:
Isso nos dá as raízes:
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
,
e
são constantes de integração.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que funciona bem quando o lado direito é uma função que já conhecemos, como exponenciais.
Passo 8
Como o lado direito é
, vamos supor uma solução particular da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Para encontrar
, igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Determine a trajetória ortogonal à família de curvas
que passa pelo ponto
, onde
é uma constante positiva.
Boa Prova!
P: B
Boa Prova!
P: B
Determine: b) o vetor normal e a curvatura de
;
Determine a solução geral de:
Resolva as EDOs a seguir,
, onde
.