Determine a solução geral de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial de terceira ordem . Isso envolve entender equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e usar o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular. Vamos precisar resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução específica para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação homogênea associada, que é . Resolver essa parte vai nos dar a base para construir a solução geral.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, usamos a equação característica. Assumimos uma solução da forma e substituímos na equação para encontrar os valores de .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir ambos os lados por (já que nunca é zero):

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação característica . Fatorando, temos:
Isso nos dá as raízes:

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde , e são constantes de integração.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que funciona bem quando o lado direito é uma função que já conhecemos, como exponenciais.

Passo 8

Como o lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.
Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 9

Para encontrar , igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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