Determine a trajetória ortogonal à família de curvas
que passa pelo ponto , onde é uma constante positiva.
Boa Prova!
P: B

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a trajetória ortogonal à família de curvas dada por , que passa pelo ponto . Isso envolve entender um pouco de geometria analítica e cálculo diferencial. Vamos precisar calcular derivadas para encontrar essas trajetórias ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a família de curvas . Essa equação representa uma família de elipses centradas no ponto , onde é uma constante que determina o tamanho da elipse. Cada valor de dá uma elipse diferente.

Passo 3

Para encontrar a trajetória ortogonal, precisamos determinar uma curva que, em cada ponto de interseção com as elipses da família, tenha uma reta tangente perpendicular à reta tangente da elipse naquele ponto.

Passo 4

Vamos começar encontrando a derivada implícita da equação da elipse para obter a inclinação da reta tangente em qualquer ponto :
Resolvendo para :

Passo 5

A inclinação da reta tangente à elipse é . Como queremos a trajetória ortogonal, a inclinação da reta tangente à trajetória será o negativo do inverso disso:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial para a trajetória ortogonal:
Vamos resolver essa equação separando as variáveis:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para simplificar:
Podemos absorver em uma nova constante :

Passo 9

Agora, usamos o ponto pelo qual a trajetória passa, , para encontrar :

Resposta

A trajetória ortogonal à família de curvas que passa pelo ponto é dada por:

Exercícios relacionados

Determine: b) o vetor normal e a curvatura de ;
Converta em graus:
Determine a solução geral de:
Determine a solução geral de: