Determine a trajetória ortogonal à família de curvas
que passa pelo ponto
, onde
é uma constante positiva.
Boa Prova!
P: B
Boa Prova!
P: B
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a trajetória ortogonal à família de curvas dada por
, que passa pelo ponto
. Isso envolve entender um pouco de geometria analítica e cálculo diferencial. Vamos precisar calcular derivadas para encontrar essas trajetórias ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a família de curvas
. Essa equação representa uma família de elipses centradas no ponto
, onde
é uma constante que determina o tamanho da elipse. Cada valor de
dá uma elipse diferente.
Passo 3
Para encontrar a trajetória ortogonal, precisamos determinar uma curva que, em cada ponto de interseção com as elipses da família, tenha uma reta tangente perpendicular à reta tangente da elipse naquele ponto.
Passo 4
Vamos começar encontrando a derivada implícita da equação da elipse para obter a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
:
Resolvendo para
:
Passo 5
A inclinação da reta tangente à elipse é
. Como queremos a trajetória ortogonal, a inclinação da reta tangente à trajetória será o negativo do inverso disso:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial para a trajetória ortogonal:
Vamos resolver essa equação separando as variáveis:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para simplificar:
Podemos absorver
em uma nova constante
:
Passo 9
Agora, usamos o ponto pelo qual a trajetória passa,
, para encontrar
:
Resposta
A trajetória ortogonal à família de curvas
que passa pelo ponto
é dada por:
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Determine: b) o vetor normal e a curvatura de
;
Converta em graus:
Determine a solução geral de:
Determine a solução geral de: