Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(i) y' + y / (x ln x) = 1, x > 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a equação diferencial onde . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa equação é separável. Se for, a gente também vai encontrar a solução geral dela. Pra isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser separável e como a gente pode manipular essa equação pra ver se ela se encaixa nessa categoria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser separável. Uma equação é separável quando a gente consegue escrever como um produto de uma função que só depende de e outra que só depende de . Ou seja, na forma:
Se conseguirmos fazer isso, então conseguimos separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação dada pra ver se ela se encaixa nessa forma separável. A equação é:
Podemos reescrever como , então fica:
Vamos isolar :
Agora, queremos ver se isso pode ser escrito como . Olhando para a equação, vemos que está sendo dividido por uma função de , o que não separa claramente as variáveis e em produtos de funções distintas.

Passo 4

Outra forma de verificar é tentando reorganizar a equação para separar e . Mas, percebemos que e estão misturados de maneira que não conseguimos separá-los em lados opostos da equação sem que uma variável apareça junto com a outra.
Isso indica que a equação não é separável. Em equações não separáveis, e não podem ser isolados facilmente em lados opostos, o que dificulta a resolução usando a técnica de separação de variáveis.

Resposta

A equação não é separável.

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