Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem a equação diferencial
onde
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa equação é separável. Se for, a gente também vai encontrar a solução geral dela. Pra isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser separável e como a gente pode manipular essa equação pra ver se ela se encaixa nessa categoria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial ser separável. Uma equação é separável quando a gente consegue escrever
como um produto de uma função que só depende de
e outra que só depende de
. Ou seja, na forma:
Se conseguirmos fazer isso, então conseguimos separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação dada pra ver se ela se encaixa nessa forma separável. A equação é:
Podemos reescrever
como
, então fica:
Vamos isolar
:
Agora, queremos ver se isso pode ser escrito como
. Olhando para a equação, vemos que
está sendo dividido por uma função de
, o que não separa claramente as variáveis
e
em produtos de funções distintas.
Passo 4
Outra forma de verificar é tentando reorganizar a equação para separar
e
. Mas, percebemos que
e
estão misturados de maneira que não conseguimos separá-los em lados opostos da equação sem que uma variável apareça junto com a outra.
Isso indica que a equação não é separável. Em equações não separáveis,
e
não podem ser isolados facilmente em lados opostos, o que dificulta a resolução usando a técnica de separação de variáveis.
Resposta
A equação
não é separável.